\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)\)

\(\Rightarrow S=2007.\frac{1}{90}-3=\frac{2007-270}{90}\)

\(2x^2+y^2+2xy-6x-2y+10\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2+y^2+1+2xy-2y-2x\right)+5\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(x+y-1\right)^2+5\ge5\)

wow.bài hay đấy. lấy đâu ra vậy

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+2016\)

\(=x\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+2016\)

\(=x\left(x^2+5x+5-1\right)\left(x^2+5x+5+1\right)+2016\)

\(=x\left[\left(x^2+5x+5\right)-1\right]+2016\)

\(=x\left(x^2+5x+5\right)-x+2016\)

Đáp số : Dư \(-x+2016\)

n lẻ nên n^3 lẻ. vậy n^3+1 chẵn. mà số chính phương chỉ có 2 là chẵn, còn lại lẻ ->đpcm

n có dạng 2k+1
n³+1 = (2k+1)³+1 = 8k³+12k²+6k+1+1=8k³+12k²+6k+2
Vì 8k³;6k và 2 không thể là số chính phương nên suy ra n³+1 không là số chính phương khi n lẻ.

A B C D d O B' A' D' C' E F

Kẻ \(AA';BB';CC'⊥d\); ta có  AA' // BB' // CC'.

Có AA' // BB' \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{BB'}{AA'}\)( Định lý Ta-lét )

Tương tự; lại có \(\frac{CF}{AF}=\frac{CC'}{AA'}\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{BB'}{AA'}+\frac{CC'}{AA'}=1\)

\(\Rightarrow\frac{BB'+CC'}{AA'}=1\)

\(\Rightarrow AA'=BB'+CC'\)

Xét hình thang BB'C'C có DD' // BB' // CC' và D là trung điểm BC nên DD' là đường trung bình hình thang.

\(\Rightarrow DD'=\frac{BB'+CC'}{2}=\frac{AA'}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{AA'}{DD'}=2\)

Có AA' // DD' nên \(\frac{AA'}{DD'}=\frac{AO}{OD}=2\)

Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy ...

Đề không rõ ràng.

F thuộc đường thẳng đi qua D thì đường thẳng chứ F không thể song song với  EF.