\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge1\\z\ge2\end{cases}}\)

Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)

Với \(x\ge0\); \(y\ge1\); \(z\ge2\)ta có:

\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\); \(\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\ge0\); \(\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2\ge0\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y-1=1\\z-2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy cặp giá trị \(\left(x;y;z\right)\)thỏa mãn đề bài là \(\left(1;2;3\right)\)

a, \(A=\frac{x\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{x\sqrt{x}+1-\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\)ĐK : \(x\ne1;x\ge0\)

\(=\frac{x\sqrt{x}+1-x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

b, Thay \(x=\frac{9}{4}\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{3}{2}\)vào biểu thức A ta được 

\(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3\)Vậy với x = 9/4 thì A = 3 

c, Ta có : \(A=\frac{9}{4}\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{9}{4}\Rightarrow4\sqrt{x}=9\sqrt{x}-9\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{x}=9\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{9}{5}\Leftrightarrow x=\frac{81}{25}\)

Vậy với A = 9/4 thì x = 81/25 

\(ĐKXĐ=x\ne1;x>0\)

\(A=\frac{\sqrt{x}^3+1}{x-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)-\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}^3+1-\sqrt{x}^3+\sqrt{x}+x-1}{x-1}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}+x}{x-1}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(b,A=\frac{\sqrt{\frac{9}{4}}}{\sqrt{\frac{9}{4}}-1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{2}{\frac{1}{2}}}=3\)

\(c,\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(5\sqrt{x}-5=4\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x}=5< =>x=25\)

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x-1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

   \(A=\left(\frac{3}{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

       \(=\left[\frac{3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right].\left(\sqrt{x}+1\right)\)

       \(=\frac{3+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\left(\sqrt{x}+1\right)=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

b) Ta có: \(x=\frac{4}{9}\)thỏa mãn ĐKXĐ

  \(\Rightarrow\)Thay \(x=\frac{4}{9}\)vào biểu thức A ta có:

\(A=\frac{\sqrt{\frac{4}{9}}+2}{\sqrt{\frac{4}{9}}-1}=\frac{\frac{2}{3}+2}{\frac{2}{3}-1}=\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{1}{3}}=-8\)

c) Ta có: \(A=\frac{5}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(\sqrt{x}+2\right)=5\left(\sqrt{x}-1\right)\)\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}+8=5\sqrt{x}-5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=13\)\(\Leftrightarrow x=169\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

 Vậy \(x=169\)

\(a,ĐKXĐ:x\ne1,x>0\)

\(A=\left(\frac{3}{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(A=\frac{3+\sqrt{x}-1}{x-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{1}\)

\(A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

với \(x=\frac{4}{9}\)

\(< =>A=\frac{2+\sqrt{\frac{4}{9}}}{\sqrt{\frac{4}{9}}-1}\)

\(A=\frac{2+\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-1}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{-1}{3}}=-8\)

\(c,\frac{5}{4}=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(5\sqrt{x}-5=8+4\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x}=13< =>x=169\)

bài 1,2 nhé

Bài 1 : 

A B H C 4 9 D E

a, Xét tam giác AHD, đường cao DH ta có :

\(AH^2=AD.AB\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác AHC, đường cao DE ta có : 

\(AH^2=AE.AC\)( hệ thức lượng ) (2)

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AD.AB=AE.AC\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét tam giác ADE và tam giác ACB ta có : 

^A _ chung 

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)( cmt )

Vậy tam giác ADE ~ tam giác ACB ( c.g.c )

\(\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}\)(*) 

* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=BH.CH=9.4=36\Rightarrow AH=6\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\)( BC = BH + CH = 9 +4 = 10 ) 

\(\Rightarrow AB^2=4.10=40\Rightarrow AB=2\sqrt{10}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=CH.BC=9.10=90\Rightarrow AC=3\sqrt{10}\)cm 

Lại có : \(AH^2=AD.AB\)( cmt ) \(\Rightarrow AD=\frac{AH^2}{AB}=\frac{36}{2\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}{5}\)cm

Thay vào (*) ta được : \(\frac{DE}{10}=\frac{\frac{9\sqrt{10}}{5}}{3\sqrt{10}}=\frac{3}{5}\Rightarrow DE=6\)cm

b, mình ko hiểu đề lắm :v ko bạn cho mình xin cái hình nhé 

ĐÁP ÁN :2,725811

Ta có:\(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=\frac{5}{2}\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\)

a) \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m+m^2\)

\(\Delta'=m^2+2m+1+m^2-4m=2m^2-2m+1\)

\(\Delta'=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\)

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Theo bài ra, ta có: A = |x₁ - x₂|

A² = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂

A² = [2(m + 1)]² - 4(4m - m²)

A² = 4m² + 8m + 4 - 8m  + 4m² = 8m² + 4 \(\ge\)4 với mọi m

Dấu "=" xảy ra <=> m = 0

Vậy MinA = 4 khi m = 0

a) Xét \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m-m^2\right)=2m^2-2m+1=m^2+\left(m-1\right)^2>0\)với mọi m

Vậy pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x₁ ; x₂ là 2 nghiệm của pt trên . Theo hệ thức Viet , ta có :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Xét \(A^2=\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-4\left(4m-m^2\right)\)

\(=8m^2-8m+4=2\left(4m^2-4m+1\right)+2=2\left(2m-1\right)^2+2\ge2\)

Dấu " = " xảy ra khi 2m - 1 = 0

Vậy \(A^2\ge2\Leftrightarrow A=\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(m=\frac{1}{2}\)

Do đó minA \(=\sqrt{2}\)khi \(m=\frac{1}{2}\)

ĐK: \(y\ne0,xy\ge0\).

\(4x^2+9y^2=16xy\)

Chia cả hai vế cho \(y^2\)ta được: 

\(4\left(\frac{x}{y}\right)^2+9=\frac{16x}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}\)

Với \(y>0\)thì \(x\ge0\)

\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}+1-\sqrt{\frac{x}{y}}=1\)

Với \(y< 0\)thì \(x\le0\):

\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{-x}\sqrt{-y}-y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=-\sqrt{\frac{x}{y}}-1-\sqrt{\frac{x}{y}}=-2\sqrt{\frac{x}{y}}-1\)

\(=-2\sqrt{\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}}-1=-\left(1\pm\sqrt{7}\right)-1=-2\pm\sqrt{7}\)