x x' y y' A z t

a/

\(\widehat{xAy}=\widehat{x'Ay'}\) (góc đối đỉnh)  (1)

\(\widehat{xAz}=\dfrac{\widehat{xAy}}{2}\) (2)

\(\widehat{y'At}=\dfrac{\widehat{x'Ay'}}{2}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{xAz}+\widehat{y'At}=\widehat{xAy}\)

Ta có \(\widehat{xAy'}+\widehat{xAy}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{xAy'}+\widehat{xAz}+\widehat{y'At}=\widehat{zAt}=180^o\)

b/ Từ kết quả câu a => A thuộc đường thẳng zt

=> \(\widehat{xAz}\) đối đỉnh \(\widehat{x'At}\)

Ta có \(\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^{2004}+\left(y+18\right)^{2012}\ge0\)

mà \(\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^{2004}+\left(y+18\right)^{2012}\le0\)

Suy ra \(\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^{2004}+\left(y+18\right)^{2012}=0\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 3/5 ; y = -18 

\(\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^{2004}+\) \(\left(y+2\cdot9\right)^{2012}\) \(\le0\) (1)

Vì \(\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^{2004}\ge0\forall x;\) \(\left(y+2\cdot9\right)^{2012}\ge0\forall y\) (2)

Từ (1);(2)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^{2004}=0\\\left(y-2\cdot9\right)^{2012}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{3}{5}=0\\y-2\cdot9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=18\end{matrix}\right.\)

Vậy ..

Em nên gõ công thức trực quan để được hỗ trợ tốt hơn nhé

Lời giải:

Gọi $BE, CF$ là trung tuyến của tam giác $ABC$. Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ cũng là đường trung tuyến của $ABC$

Vậy $BE, CF, AM$ đồng quy tại 1 điểm. Mà $BE, CF$ cắt nhau tại $D$ nên $D\in AM$

$\Rightarrow A,M,D$ thẳng hàng.

b. 

Xét tam giác $ABM$ và $ACM$ có:

$AB=AC$ (do $ABC$ là tg cân) 

$AM$ chung

$BM=CM$ 

$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ACM$ (c.c.c)

Hình vẽ:

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a/b = b/c = c/d = (a + b + c)/(b + c + d)

--> ((a + b + c)/(b + c + d))^3 = a^3/b^3

Cần chứng minh:

a^3/b^3 = a/d

<=> a^3/b^3 = a^3/(a^2.d)

--> b^3 = a^2.d

Mà ad = bc (do a/b = c/d)

--> b^3 = abc

<=> b^2 = ac (luôn đúng do a/b = b/c)

--> đpcm

Tặng bạn cái link nè :

https://olm.vn/cau-hoi/cho-dfracabdfracbcdfraccd-chung-minh-rang-leftdfracabcbcdright3dfracad.2866187285010

Lần sau mình báo giáo viên đó .-.

Lời giải:

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk$

a. Ta có:

$\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{(bk)^2-b^2}{(dk)^2-d^2}=\frac{b^2(k^2-1)}{d^2(k^2-1)}=\frac{b^2}{d^2}(1)$

$\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}(2)$

Từ (1); (2) ta có đpcm

b.

$\frac{(a-b)^2}{(c-d)^2}=\frac{(bk-b)^2}{(dk-d)^2}=\frac{b^2(k-1)^2}{d^2(k-1)^2}=\frac{b^2}{d^2}(3)$

Từ $(2); (3)$ suy ra đpcm

c.

$(\frac{a+b}{c+d})^3=(\frac{bk+b}{dk+d})^3=(\frac{b(k+1)}{d(k+1)})^3=\frac{b^3}{d^3}(4)$

$\frac{a^3-b^3}{c^3-d^3}=\frac{(bk)^3-b^3}{(dk)^3-d^3}=\frac{b^3(k^3-1)}{d^3(k^3-1)}=\frac{b^3}{d^3}(5)$

Từ $(4); (5)$ ta có đpcm

d. Làm tương tự.

Bài này bạn đã đăng rồi thì hạn chế không đăng lại, tránh gây spam.

Đặt : \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=k\)

=> x = 3k; y = 6k

Ta có : 4x - y = 42

=> 4.3k - 6k = 42

=> 12k - 6k = 42

=> 6k = 42

=> k = 7

=> x = 3 . 7 = 21

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}\Rightarrow y=2x\Rightarrow x=\dfrac{y}{2}\) 

\(4x-y=42\) 

\(4\cdot\dfrac{y}{2}-y=42\) 

\(y\left(4\cdot\dfrac{1}{2}-1\right)=42\)

\(y\cdot1=42\) 

\(y=42\Rightarrow x=\dfrac{42}{2}=21\) 

`x/3=y/6=>x=1/2y`

Thay `x=1/2y` vào `2x^2-y^2=-8` có:

    `2(1/2y)^2-y^2=-8`

`=>1/2y^2-y^2=-8`

`=>-1/2y^2=-8`

`=>y^2=16`

`=>y=4` hoặc `y=-4`

  `@y=4=>x=1/2 .4=2`

  `@y=-4=>x=1/2 .(-4)=-2`

Vậy `(x;y)=(2;4)=(-2;-4)`

a/ 

Xét tg ACK có

\(CH\perp AK;AN\perp CK\) => M là trực tâm của tg ACK

\(\Rightarrow KM\perp AC\) mà \(AB\perp AC\) => KM//AB (cùng vuông góc với AC)

Xét tg vuông ABH và tg vuông KMH có

KM//AB => \(\widehat{ABH}=\widehat{KMH}\) (góc so le trong)

HB=HM (gt)

=> tg ABH = tg KMH (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => KM=AB

b/

Ta có tg ABH = tg KMH (cmt) => AH=KH => CH là trung tuyến của tg CKA

Ta có CH là đường cao của tg CKA

=> tg CKA cân tại C (trong tg đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

c/

Tg CKA là tg đều \(\Rightarrow\widehat{ACK}=60^o\)

Ta có CH là phân giác của \(\widehat{ACK}\) (trong tg cân đường cao đồng thời là đường phân giác)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{KCH}=30^o\)

Vậy để tg CKA là tg đều thì tg ABC phải cần đk là \(\widehat{ACB}=30^o\)