O A B D E C H P F N M I

a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)

Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)

Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:

\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)

Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.

b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp

Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)

Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)

Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.

c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)

Theo hệ thức lượng thì:

\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(=\frac{n+1-n}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)

\(VT=\frac{n+1-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(dpcm\right)\)

Đặt tổng trên là A

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)

\(A=2A-A=2^{101}-2=2\left(2^{100}-1\right)\Rightarrow A=2^{100}-1\)

\(2^{100}=\left(2^4\right)^{25}=16^{25}\) có chữ số tận cùng là 6

\(\Rightarrow A=2^{100}-1\) có chữ số tận cùng là 5

Gọi số tự nhiên lớn cần tìm là a

       số tự nhiên bé cần tìm là b (a,b\(\in\)N; a,b>0)

Theo bài ra:

Tổng của chúng là 1903

=>a+b=1903(1)

Nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 107

=>a=3b+107(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trinh:

\(\hept{\begin{cases}a+b=1903\\a=3b+107\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1903\\a-3b=107\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4b=1796\\a+b=1903\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=449\\a=1454\end{cases}}\)(TM)

Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là 1454 và 449

\(\hept{\begin{cases}2x\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=3\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2x}{2y}=3\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=3y\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\end{cases}=1}\)

\(2y\left(1+\frac{1}{9y^2+y^2}\right)=1\)

\(2y+\frac{2y}{10y^2}=1\)

\(2y+\frac{1}{5y}-1=0\)

\(10y^2+1-5y=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-\left(4.1.10\right)=25-40=-15< 0\)

lên pt vô nghiệm

\(\sqrt{117.5^2-26.5^2-1440}\)

\(\sqrt{5\left(585-130-288\right)}\)

\(\sqrt{5.167}=\sqrt{835}\)