ĐKXĐ : \(y+\frac{1}{y}\ge0;y\ne0\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x^2+1}=y+\frac{1}{y^2+1}\left(1\right)\\x^2+2x.\sqrt{y+\frac{1}{y}}=8x-1\left(2\right)\end{cases}}\)              

(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)-\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\right)=0\) 
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\end{cases}}\) 

Với x = y thay vào (2) ; ta có : \(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\) 

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8-\frac{1}{x}\) ( vì x =  y mà y khác 0 => x khác 0 ) 

Đặt \(a=\sqrt{x+\frac{1}{x}}\) rồi giải p/t

Với : \(1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\frac{x^2y^2+y^2+x^2+1-x-y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}+x^2y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\)

Dễ thấy : VT > 0 => PTVN 

.... 

Dùng bảng lượng giác sinx = 0,2368 => x ≈ 13o42'

- Cách nhấn máy tính:

 

\(-7xy\sqrt{\frac{16}{xy}}\)

\(-7xy\frac{4\sqrt{xy}}{xy}\)

\(-28\sqrt{xy}\)

 Gọi độ dài cạnh huyền là a và cạnh góc vuông chưa biết là b, cạnh đã biết là c

 Ta có b/a =4/5 

 ⇒ b = 4a/5

  Khi đó áp dụng định lý Pytago ta có

    a²= b²+ c²

 Thay b vào ta có 

  a² =(4a/5)² +9²

  a² = 16a²/25 +81

 9a²/25 = 81 

 ⇒ a² = 225

 ⇒ a =15cm

 => b= 12cm

 Khi đó AD hệ thức lượng trong tam giác ta có ( gọi độ dài hình chiếu của b và c xuống a lần lượt là x và y)

  Ta có  b² = x.a

 ⇔    12² = x . 15 

 ⇒ x =48/5 =9.6cm

  Và c² =  y.a 

 ⇒ 9² = y.15

 ⇒y= 27/5 =5.4cm

\(\sqrt{1.5}\sqrt{1.2}\sqrt{500}\)

\(=\sqrt{900}\)

\(=30\)

\(\sqrt{1,5}\cdot\sqrt{1,2}\cdot\sqrt{500}=\sqrt{1,5\cdot1,2\cdot500}\)

\(=\sqrt{900}=30\)

\(a,\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2\)

\(\sqrt{\sqrt{5}^2-4\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}-\sqrt{5}\)

\(\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2< =>ĐPCM\)

\(b,\left(4-\sqrt{7}\right)^2=16-8\sqrt{7}+7=23-8\sqrt{7}=VP\)

\(< =>ĐPCM\)

\(c,\sqrt{11-2\sqrt{10}}-\sqrt{10}\)

\(\sqrt{\sqrt{10}^2-2\sqrt{10}+1}-\sqrt{10}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{10}-1\right)^2}-\sqrt{10}=\sqrt{10}-1-\sqrt{10}\)

\(=-1,=>ĐPCM\)

\(d,\sqrt{\sqrt{3}^2+2\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2\)

\(\sqrt[3]{4}+\frac{2}{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}\right)}\)

\(\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{2+2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{2\left(1+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(=2\)

Ta có: \(\sqrt{1+x^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2}}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}}{xy}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}z\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}\ge\sqrt{3}\sqrt[3]{yz}x,\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\ge\sqrt{3}\sqrt[3]{zx}y\)

Suy ra \(P\ge\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{xy}z+\sqrt[3]{yz}x+\sqrt[3]{zx}y\right)\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^5y^5z^5}}=3\sqrt{3}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=z=1\).

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(P\ge sigma\frac{\sqrt{\left(1+x+y\right)^2}}{\sqrt{3}.xy}=\frac{z+xz+yz}{\sqrt{3}xyz}+\frac{x+xy+xz}{\sqrt{3}xyz}+\frac{y+yz+yx}{\sqrt{3}xyz}\)

\(=\frac{x+y+z+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{\sqrt{3}}\)

Theo AM-GM thì \(\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge6+3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

Khi đó : \(\frac{x+y+z+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}}{\sqrt{3}}\ge\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy Min P = 3 căn 3 khi x=y=z=1 

okela -))