Ta có \(P=n^2+n+7=n\left(n+1\right)+7\). Ta thấy \(n,n+1\) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)⋮2\) \(\Rightarrow P=n\left(n+1\right)+7⋮̸2\)

 Bây giờ ta sẽ chứng minh \(P⋮̸5\). Thật vậy, giả sử tồn tại n để \(P⋮5\) . Khi đó vì P lẻ nên P có chữ số tận cùng là 5. 

 \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\) có chữ số tận cùng là 3, điều này rõ ràng vô lí vì \(n\left(n+1\right)⋮2\). Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow P⋮̸5\) (đpcm)

Chỗ này 8 mới đúng nhé. Mình vẫn phải làm thêm 1 bước nữa.

 Ta thấy \(n^2\) chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 8, 9. Ta kí hiệu \(f\left(a\right)\) là chữ số tận cùng của số tự nhiên a.

 Khi đó nếu \(f\left(n^2\right)=0\) thì \(f\left(n\right)=0\), do đó \(f\left(P\right)=0\), loại.

 Nếu \(f\left(n^2\right)=1\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=1\\f\left(n\right)=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=2\\f\left(P\right)=0\end{matrix}\right.\), loại.

 Nếu \(f\left(n^2\right)=4\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=2\\f\left(n\right)=8\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=6\\f\left(P\right)=2\end{matrix}\right.\), loại.

 Nếu \(f\left(n^2\right)=5\) thì \(f\left(n\right)=5\) nên \(f\left(P\right)=0\), loại.

 Nếu \(f\left(n^2\right)=6\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=4\\f\left(n\right)=6\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=0\\f\left(P\right)=2\end{matrix}\right.\), loại.

 Nếu \(f\left(n^2\right)=9\) thì \(\left[{}\begin{matrix}f\left(n\right)=3\\f\left(n\right)=7\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(P\right)=2\\f\left(P\right)=6\end{matrix}\right.\), loại.

Vậy với mọi n thì chữ số tận cùng của P không thể là 8, dẫn tới vô lí. Ta có đpcm.

\(M=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{20}\\ =\left(2+2^2\right)+2^2\left(2+2^2\right)+...+2^{18}\left(2+2^2\right)\\ =6+2^2.6+...+2^{18}.6\\ =\left(1+2^2+...+2^{18}\right).6⋮6\)

M = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

M = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

Xét dãy số: 1; 2; 3;...; 20 dãy số này có 20 số hạng vậy M có 20 hạng tử. Vì 20 : 2 = 10 nên nhóm 2 hạng tử liên tiếp của M thành 1 nhóm thì:

M = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2¹⁹ + 2²⁰)

M = 6 + 2².( 2+ 2²) + ... + 2¹⁸(2 + 2²)

M = 6 + 2².6 + ... + 2¹⁸. 6

M = 6. ( 1 + 2² + ... + 2¹⁸)

vì 6 ⋮ 6 nên 6.(1 + 2² + ... + 2¹⁸) ⋮ 6 hay M = 2 + 2²+...+2²⁰ ⋮ 6(đpcm)

Bạn cần làm gì với biểu thức Q?

\(1+3+5+...+2x+1=625\)

\(\Rightarrow\left[\left(2x+1-1\right):2+1\right]\cdot\left(2x+1+1\right):2=625\)

\(\Rightarrow\left(2x:2+1\right)\cdot\left(2x+2\right):2=625\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\cdot2\left(x+1\right):2=625\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=625\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=25^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=25\\x+1=-25\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=24\\x=-26\end{matrix}\right.\)

Gọi số bi nhiều nhất có thể chia được là x 

Khi đó: x ∈ ƯCLN(90, 63, 36) 

Ta có:

\(90=2\cdot3^2\cdot5\)

\(63=3^2\cdot7\)

\(36=2^2\cdot3^2\)

\(\Rightarrow x=ƯCLN\left(90,63,36\right)=2\cdot3^2=18\)

Vậy số túi có thể chia được nhiều nhất là 18 túi 

540 km 

54 000 000 cm = 540 km 

Diện tích của lối đi là:

\(2\cdot10=20\left(m^2\right)\)

Tổng diện tích của miếng đất là:

\(10\cdot10=100\left(m^2\right)\)

Diện tích còn lại trồng cỏ là:

\(100-20=80\left(m^2\right)\)

Tổng số tiền cần dùng để trồng cỏ là:

\(80\cdot500000=40000000\) (đồng)

Đáp số: 40000000 đồng 

\(18=2.3^2\\ 24=2^3.3\\ =>UCLN\left(18,24\right)=2.3=6\)

6

\(90=2.3^2.5\\ 63=3^2.7\\ 36=2^2.3^2\)

\(=>UCLN\left(90;63;36\right)=3^2=9\)