\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}-2\ge0\Rightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)

ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\) Với mọi x thuộc R

mà x,y là 2 số cùng dấu suy ra x.y\(\ge\)0 Với mọi x thuộc R

suy ra \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)

bài 1 sai đề rồi bạn. Nếu BEMD là ht cân thật thì \(\widehat{ABC}=\widehat{MDB}\)mà \(\widehat{MDB}=\widehat{ACB}\)(đồng vị) => \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)=> tam giác ABC cân( trái với đề bài)

Nhưng ngta đâu có ns là tam giác ABC ko đc cân đâu :3

(2x-5)³+27(x-1)³+(8-5x)³=0

<=>(2x-5)³+3³(x-1)³+(8-5x)³=0

<=>(2x-5)³+(3x-3)³+(8-5x)³=0

Đặt a=2x-5

      b=3x-3

      c=8-5x

=>a+b+c=2x-5+3x-3+8-5x=0

và a³+b³+c³=0(theo đề bài ta có)

ta có (a+b+c)³=(a+b)³+3(a+b)²c+3(a+b)c²+c³

                       =a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3(a+b)²c+3(a+b)c²

                      =a³+b³+c³+3ab(a+b)+3(a+b)c(a+b+c)

                      =a³+b³+c³+3(a+b)(ab+c(a+b+c)

                      =a³+b³+c³+3(a+b)(ab+ca+cb+c²)

                      =a³+b³+c³+3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]

                       =a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(c+a)

Mà a+b+c=0 và a³+b³+c³=0 nên

3(a+b)(b+c)(c+a)=0

<=>(a+b)(b+c)(c+a)=0

<=>(2x-5+3x-3)(3x-3+8-5x)(8-5x+2x-5)=0

<=>(5x-8)(-2x+5)(-3x-3)=0

<=>5x-8=0 hoặc -2x+5=0 hoặc -3x-3=0

<=>  x   =8/5 hoặc x   =5/2 hoặc x    =-1

Phải là -3x+3=0 chứ

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{2000}-1+\frac{x-2}{1999}-1+\frac{x-3}{1998}-1+....+\frac{x-1999}{2}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2001}{2000}+\frac{x-2001}{1999}+\frac{x-2001}{1998}+....+\frac{x-2001}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2001\right)\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{1999}+\frac{1}{1998}+...+\frac{1}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2001=0\)

\(\Leftrightarrow x=2001\)

MIK  giải đc nhưng ngại lắm , mỏi tay ,đáp số nè:

\(\left(x^2-x-1\right)\left(2x^2+5x-2\right)\)

Giả sử f(x) chia cho x² - 4 được thương là -5x và còn dư là ax + b.

Khi đó f(x) = (x² - 4).(-5x) + ax + b

Theo đề bài ta có :

f(2) 24 và f(-2) = 24 <=> 2a + b = 24 và -2a + b = 10 <=> a = \(\frac{7}{2}\)  và b = 17

Do đó f(x) = (x² - 4) . (-5x) + \(\frac{7}{2}\)x  + 17

Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng f(x) = -5x³ + \(\frac{47}{2}\)x + 17

* Nếu x<2<=> A= -x+2-x+3=-2x+5

ta có: x<2 <=> -2x>-4 <=> -2x+5>1<=> A>1

*Nếu \(2\le x\le3\) <=> A=x-2-x+3=1

* Nếu x>3 <=> A=x-2+x-3=2x-5

ta có: x>3 <=> 2x>6 <=> 2x-5>1 <=> A>1

vậy => GTNN của A=1 <=> \(2\le x\le3\)

Đặt a = y + z; b = z+ x; c = x+ y (a;b;c > 0)

=> x+ y + z = (a+b+c)/2

=> x= (a+b+c)/2 - a = (b+c- a)/2

     y = (a+b+c)/2 - b = (a+c-b)/2; z = (a+b - c)/ 2

Khi đó \(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1\right)\)

=> \(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}.\left(\left(\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-3\right)\right)\)

AD BĐT Cô - si có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)

=> \(P\ge\frac{1}{2}.\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)=> Min P = 3/2

Dấu "=" khi a = b = c<=> x = y = z

Áp dụng Cauchy - Schwarz và AM-GM :

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)

\(=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=z

Giả sử 10^150 + 5.10^50+1=m^3 (m là số tự nhiên)
Ta thấy VT có tận cùng là 1, suy ra VP phải có tận cùng 1.
mà 1^3=1,2^3=8,... nên m phải có tận cùng là 1, hay m=10k+1 (k là số tự nhiên)
10^150 + 5.10^50+1=(10k+1)^3=1000.k^3+300.k^2+30.k+1
10^150 + 5.10^50 - 1000.k^3- 300.k^2-30.k=0 
suy ra A=10^150 + 5.10^50 - 1000.k^3chia hết cho 3
10^150=(9+1)^150 chia 3 dư 1
5.10^50=5.(9+1)^50 chia 3 dư 2
1000k=999k+k
suy ra k chia hết cho 3
10^150=(9+1)^150 chia 9 dư 1
5.10^50=5.(9+1)^50 chia 9 dư 5
suy ra 10^150 + 5.10^50chia 9 dư 6 (**)
mà 1000.k^3+ 300.k^2+30.k chia hết cho 9 (do k chia hết cho 3) (***)
Từ (**)(***) suy ra mâu thuẫn.
Vậy 10^150 + 5.10^50+1không thể là lập phương của 1 số tự nhiên.

Ta có : 10¹⁵⁰ < 10¹⁵⁰ + 5.10⁵⁰ + 1 < (10⁵⁰)³ + 3 (10⁵⁰)² + 3.10⁵⁰ + 1

Hay : (10⁵⁰)³ < 10¹⁵⁰ + 5.10⁵⁰ + 1 < (1050 + 1)³

→ 10¹⁵⁰ + 5.10⁵⁰ + 1 không là lập phương của một số tự nhiên