TL:

S= \(\dfrac{1}{31}\)+\(\dfrac{1}{32}\)+....+ \(\dfrac{1}{89}\)+\(\dfrac{1}{90}\)

S=( \(\dfrac{1}{31}\)+\(\dfrac{1}{32}\)+...+\(\dfrac{1}{60}\))+(\(\dfrac{1}{61}\)+\(\dfrac{1}{62}\)+...+ \(\dfrac{1}{89}\)+\(\dfrac{1}{90}\))

Ta có:

( \(\dfrac{1}{31}\)+\(\dfrac{1}{32}\)+...+\(\dfrac{1}{60}\))> \(\dfrac{1}{60}\)+\(\dfrac{1}{60}\)+....+\(\dfrac{1}{60}\)=\(\dfrac{1}{2}\)

Và:

(\(\dfrac{1}{61}\)+\(\dfrac{1}{62}\)+...+ \(\dfrac{1}{89}\)+\(\dfrac{1}{90}\))>\(\dfrac{1}{90}\)+\(\dfrac{1}{90}\)+....+\(\dfrac{1}{90}\)=\(\dfrac{1}{3}\)

Vậy S> \(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{3}\)=\(\dfrac{5}{6}\) (đpcm)

đứa nào ăn cít ko

Gọi trọng tâm của tam giác ABC là G

Vì G là trọng tâm tam giác ABC 

\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

+) Xét \(\overrightarrow{\text{AA}'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\right)+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\right)-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

=> G đồng thời là trọng tâm của tam giác A'B'C'

\(32^{4}=(2^{5})^{4}=2^{20}\)

\(64^{12}=(2^{6})^{12}=2^{72}\)

Vì `20 < 72=>` \(2^{20} < 2^{72}\)

    Hay \(32^{4} < 64^{12}\)

M A B C

a/ Xét tg MAB có

AB<MA+MB (trong tg tổng độ dài 2 cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại)

b/

Ta có

AB<MA+MB (1)

Cm tương tự

AC<MA+MC (2)

BC<MB+MC (3)

Cộng 2 vế của (1) (2) (3)

=> AB+AC+BC=2(MA+MB+MC)