a) Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A

\(\Rightarrow\widehat{B}=90^0-\widehat{C}=90^0-30^0=60^0\)

Ta có : \(\frac{\sqrt{3}}{2}=cos30^0=cos\widehat{C}=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow BC=\frac{2AC}{\sqrt{3}}=\frac{2.10}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\)

Mặ khác : \(\frac{1}{2}=sin30^0=sin\widehat{C}=\frac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AB=\frac{BC}{2}=\frac{\frac{20\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{20\sqrt{3}}{6}\)

b)Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A 

\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-40^0=50^0\)

Ta có : \(sinB=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC.sinB=20.sin40^0\approx12,86\)

và \(cosB=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.cosB=20.cos40^0\approx15,32\)

x + 2√x + 3 = (√x)² + 2√x + 1 + 2 = (√x + 1)² + 2

Vì √x\(\ge\)0 <=> (√x + 1)²\(\ge\)1

=> (√x + 1)² + 2\(\ge\)3

Dấu "=" xảy ra <=> (√x + 1)² = 1 <=> x = 0

Vậy minbt = 3 <=> x = 0

ĐKXĐ : \(x\ge-\frac{3}{2}\)

Ta có : \(\sqrt{x^2+4}=\sqrt{2x+3}\)

\(\Leftrightarrow x^2+4=2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)

Vậy \(x=1\)

bình phương 2 vế

x² + 4 = 2x + 3

<=> x² - 2x + 1 = 0

<=> ( x - 1 )² = 0

<=> x = 1

\(Q=x+2\sqrt{x}+3\)ĐK : \(x\ge0\)

\(=x+2\sqrt{x}+1+2=\left(\sqrt{x}+1\right)^2+2\ge2\)

Dấu ''='' ko xảy ra vì \(\sqrt{x}+1>0\Rightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)^2>0\)

Bài 3 : Để ptđt (d2) là pt bậc nhất khi \(m\ne0\)

a, Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình 

\(x+1=mx+3m\Leftrightarrow x-mx=3m-1\Leftrightarrow x\left(1-m\right)=3m-1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{3m-1}{1-m}\)

\(\Rightarrow y=x+1=\frac{3m-1}{1-m}+1=\frac{3m-1+1-m}{1-m}=\frac{2m}{1-m}\)

b, Thay x = 0 vào ptđt (d1) ta được : \(y=1\)

Vậy (d1) cắt (d2) tại A(0;1)

Với \(m\ne0\)ta có :

Thay x = 0 ; y = 1 vào ptđt (d2) ta được : \(1=3m\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}\)( tm )

3, Thay y = 0 vào ptđt (d1) ta được : \(x=-1\)

Vậy (d1) cắt (d2) tại B(-1;0)

Với \(m\ne0\)ta có : 

Thay x = -1 ; y = 0 vào ptđt (d2) ta được : \(-m+3m=0\Leftrightarrow m=0\)

4, Thay \(x=\frac{3m-1}{1-m};y=\frac{2m}{1-m}\)vào ptđt (d3) ta được : 

\(y=x+1\Rightarrow\frac{2m}{1-m}=\frac{3m-1}{1-m}+1\)ĐK : \(m\ne0;1\)

\(\Rightarrow2m=3m-1+1-m\Leftrightarrow2m=2m\)* đúng *

Vậy giao điểm (d1) và (d2) thuộc (d3) 

\(\sqrt{x^2-2x+4}=2x-2\)

\(\Rightarrow x^2-2x+4=\left(2x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Thử lại \(x=2\)thỏa mãn. 

\(3=x^2+y^2+xy\ge2xy+xy=3xy\Rightarrow xy\le1\).

\(3=x^2+y^2+xy=\left(x+y\right)^2-xy\ge-xy\Rightarrow xy\ge-3\)

\(M=x^4+y^4-xy=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2-xy=\left(3-xy\right)^2-2x^2y^2-xy\)

\(=-x^2y^2-7xy+9=-\left(xy+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{85}{4}\)

\(\ge-\left(1+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{85}{4}\)(vì \(-3\le xy\le1\))

\(=1\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=\pm1\).

lỡ x=1, y=-1 thì sao bạn M= 3 mà

Sửa đề: \(ab+bc+ca\le3\)

\(F=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\)

\(\ge6\sqrt[6]{\frac{1}{\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)27abc}}\)

\(=6\sqrt[6]{\frac{1}{27\left(ac+2bc\right)\left(ba+2ca\right)\left(cb+2ab\right)}}\)

\(\ge6\sqrt[6]{\frac{1}{\left(ac+2bc+ba+2ca+cb+2ab\right)^3}}\)

\(\ge6\sqrt[6]{\frac{1}{27\left(ab+bc+ca\right)^3}}=6\sqrt[6]{\frac{1}{27.27}}=2\)

đánh nhầm teo