Ta có:

$A=1+2^2+2^4+2^6+...+2^{20}+2^{22}$

$=(1+2^2+2^4)+(2^6+2^8+2^{10})+(2^{12}+2^{14}+2^{16})+(2^{18}+2^{20}+2^{22})$

$=21+2^6\cdot(1+2^2+2^4)+2^{12}\cdot(1+2^2+2^4)+2^{18}\cdot(1+2^2+2^4)$

$=21+2^6\cdot21+2^{12}\cdot21+2^{18}\cdot21$

$=21\cdot(1+2^6+2^{12}+2^{18})$

Vì $21\vdots7$

nên $21\cdot(1+2^6+2^{12}+2^{18})\vdots7$

hay $A\vdots7$ (1)

Lại có:

$A=1+2^2+2^4+2^6+...+2^{20}+2^{22}$

$=(1+2^2+2^4+2^6)+(2^8+2^{10}+2^{12}+2^{14})+(2^{16}+2^{18}+2^{20}+2^{22})$

$=85+2^8\cdot(1+2^2+2^4+2^6)+2^{16}\cdot(1+2^2+2^4+2^6)$

$=85+2^8\cdot85+2^{16}\cdot85$

$=85\cdot(1+2^8+2^{16})$

Vì $85\vdots17$

nên $85\cdot(1+2^8+2^{16})\vdots17$

hay $A\vdots17$ (2)

Mặt khác: $(7,17)=1$ (3)

Từ (1); (2) và (3) $\Rightarrow A\vdots 7\cdot17=119$

$\text{#}Toru$

+ Các cặp cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau 

+ Bốn góc của hình chữ nhật bằng 90^o

+ Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

có 4 cạnh bằng nhau 

có 4 góc bằng nhau và bằng góc vuông

có 2 đường chéo là AB và BD

   D = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4²⁰⁰

4.D = 4   + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵ +... + 4²⁰¹

4D - D = (4 + 4² + 4³ + 4⁴ + 4⁵ + ... + 4²⁰¹) - (4⁰ + 4¹ + 4² +...+4²⁰⁰)

 3D      = 4 + 4² + 4⁴ + 4⁴ + 4⁵ + ... + 4²⁰¹ - 4⁰ - 4¹ - 4² - ... - 4²⁰⁰

3D      =  (4 - 4¹) + (4² - 4²) + .... + (4²⁰⁰ - 4²⁰⁰) + 4²⁰¹ - 4⁰

  3D    = 4²⁰¹ - 4⁰

   3D + 1 = 4²⁰¹ - 1 + 1

   3D + 1  = 4²⁰¹

Theo bài ra ta có: 4²⁰¹ = 4ⁿ⁺¹

                              n + 1  = 201

                              n =  201 - 1

                              n = 200

\(D=4^0+4^1+4^2+4^3+4^4+...+4^{200}\\4D=4\cdot(4^0+4^1+4^2+4^3+4^4+...+4^{200})\\4D=4^1+4^2+4^3+4^4+4^5+...+4^{201}\\4D-D=(4^1+4^2+4^3+4^4+4^5+...+4^{201})-(4^0+4^1+4^2+4^3+4^4+...+4^{200})\\3D=4^{101}-4^0\\3D=4^{101}-1\\\Rightarrow 3D+1=4^{101}\)

Mặt khác: \(3D+1=4^{n+1}\)

\(\Rightarrow 4^{n+1}=4^{101}\\\Rightarrow n+1=101\\\Rightarrow n=101-1=100(tmdk)\)

Lời giải:
Gọi $d=(3n+3, 4n+9)$

$\Rightarrow 3n+3\vdots d; 4n+9\vdots d$
$\Rightarrow 3(4n+9)-4(3n+3)\vdots d$

$\Rightarrow 15\vdots d\Rightarrow d=1,3,5,15$

Vậy đề sai.

Số học sinh của 1 lớp khi xếp hàng 4 hàng 7 thì vừa đủ nên số học sinh lớp đó là bội chung của 4 và 7. 

          4 = 2²; 7 = 7 BCNN(4; 7) = 28 

   BC(4;7) = {0; 28; 112;..;}

Có rất nhiều số thỏa mãn là số học sinh lớp đó. Cần thêm điều kiện nữa em nhé. 

5^(\(2x-3\)) + 7.5² = 12.5²

5^{(2\(x\) - 3)}             = 12.5² - 7.5² 

5^{(2\(x\) - 3)}              = 5².(12 - 7)

5^(2\(x-3\))             = 5².5

5^(\(2x-3\))             = 5³ 

2\(x-3\)               = 3 

2\(x\)                      = 3 + 3

2\(x\)                      = 6 

\(x\)                         = 6 : 2 

\(x\)                         = 3

5²ˣ⁻³ + 7.5² = 12.5²

5²ˣ⁻³ = 12.5² - 7.5²

5²ˣ⁻³ = 5².(12 - 7)

5²ˣ⁻³ = 5².5

5²ˣ⁻³ = 5³

2x - 3 = 3

2x = 3 + 3

2x = 6

x = 6 : 2

x = 3

\(x^3+2=4^2-6\)

\(\Rightarrow x^3+2=16-6\)

\(\Rightarrow x^3+2=10\)

\(\Rightarrow x^3=10-2\)

\(\Rightarrow x^3=8\)

\(\Rightarrow x^3=2^3\)

\(\Rightarrow x=2\)

a) Chiều dài của mảnh vườn là:

\(160:8=20\left(m\right)\)

b) Chu vi của mảnh vườn:

\(\left(20+8\right)\cdot2=56\left(m\right)\)

c) Số cây cần trồng là:

\(56:4=14\) (cây)