đề phải là \(-3x-3\sqrt{x}>0\)

\(-3\left(x+\sqrt{x}\right)\)kết hợp đk của x 

\(0< x< 1\)

\(< =>x+\sqrt{x}>0\)

\(< =>-3\left(x+\sqrt{x}\right)< 0\)

\(-3x-3\sqrt{x}< 0\)

\(6x\sqrt{2x^3+7}=6x^3+2x+22-4\sqrt{2x^3+7}\left(1\right)\) ĐK: \(\sqrt{2x^3+7}\ge0\)

Đặt \(\sqrt{2x^3+7}=a\ge0\)

\(\Rightarrow3a^2=6x^3+21\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow6ax=3a^2+2x+1-4a\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3a^2+2x+1-4a-6ax=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a^2-4a+1\right)+2x\left(1-3a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(3a-1\right)+2x\left(1-3a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)\left(a-1-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\a=1+2x\end{cases}}\)

TH1: \(a=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^3+7}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x^3=\frac{-31}{9}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{-31}{9}}\left(tm\right)\)

TH2: a=1+2x

\(\Rightarrow\sqrt{2x^3+7}=1+2x\left(x\ge\frac{-1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3+7=4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2-2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2-x^2+x-3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\x^2-x-3=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\Delta\left(2\right)=13\)

=> pt có 2 nghiệm pb \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\left(tm\right)\\x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\left(loai\right)\end{cases}}\)

Vậy ...

\(\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2\)

\(\Rightarrow\frac{2x-3}{x-1}=2^2\)

\(\Rightarrow\frac{2.x-3}{x-1}=4\)

\(\Rightarrow2.x-3=4.\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow2.x-3=4.x-4\)

\(\Rightarrow2.x=4.x-1\)

\(\Rightarrow4.x-2.x=1\)

\(\Rightarrow2.x=1\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

A C B E K H F D O

Ta có 

\(\widehat{CAK}=\widehat{CBK}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung CK)

\(\widehat{CAD}=\widehat{CBK}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )

\(\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{CAD}\) => AE là phân giác của \(\widehat{HAK}\) đồng thời \(AE\perp HK\) => AE là đường cao của tg AHK

=> tam giác AHK cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác là tg cân) => AH=AK

b/ Nối O với A cắt EF tại G và O với C ta có 

\(\widehat{BEF}+\widehat{FEA}=\widehat{AEB}=90^o\) (1)

Xét tg AOC có OA=OC => tg AOC cân tại A \(\Rightarrow\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)

Ta có

sđ\(\widehat{AOC}=\)sđ cung AC (góc ở tâm)

sđ\(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{AOC}=2.\widehat{ABC}\)

Xét tg cân OAC có

\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\frac{180^o-\widehat{AOC}}{2}=\frac{180^o-2.\widehat{ABC}}{2}=90^o-\widehat{ABC}\)

Xét tg vuông BCF có

\(\widehat{BCF}=90^o-\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCF}=\widehat{OAC}\) (2)

Xét tứ giác BCEF có E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc 90 độ

=> E và F nằm trên đường tròn đường kính BC hay BCEF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BCF}=\widehat{BEF}\) (Góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung BF) (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{BEF}=\widehat{OAC}\) (4)

Từ (1) và (4) \(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{FEA}=90^o\)

Xet tg AGE có 

\(\widehat{AGE}=180^o-\left(\widehat{OAC}+\widehat{FEA}\right)=180^o-90^o=90^o\Rightarrow AO\perp EF\)

c/

A=\(\frac{2a-2\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-3b}{2a-2\sqrt{ab}-\left(3\sqrt{ab}-3b\right)}\) = \(\frac{2\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+3\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)  =  

    =  \(\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(2\sqrt{a}-3\sqrt{b}\right)}\)=  \(\frac{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}\)

\(=\frac{2a-2\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-3b}{2a-2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}+3b}=\frac{2\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+3\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(2\sqrt{a}-3\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-3\sqrt{b}}\)