c.\(Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-5}{\sqrt{x}}=\frac{x+5\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-5\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)\(Q=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

hay \(Q=\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\ge2+2=4\) Vậy Q>3

ta có :

\(\sqrt{2}a^2+a-1=0\Leftrightarrow\sqrt{2}a^2=1-a\) nên ta có \(a\le1\)

\(\Rightarrow2a^4=a^2-2a+1\)Vậy \(C=\frac{2a-3}{\sqrt{2\left(a^2-4a+4\right)}+2a^2}=\frac{2a-3}{2a^2+\sqrt{2}\left(2-a\right)}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}a^2-a+2\right)}\)

\(=\frac{2a-3}{\sqrt{2}\left(1-a-a+2\right)}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}\left(3-2a\right)}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

A B C I I I 1 2 D E F Q R P K M N H

Gọi BC tiếp xúc với (I), (I₁), (I₂) lần lượt tại D,M,N. AP cắt EF tại H và tiếp xúc với (I₁),(I₂) lần lượt tại Q,R.

Ta có \(EF=MN;EF=HE+HF=2HQ+QR;MN=PM+PN=2PR+RQ\)

Suy ra \(HE=PN\)

Lại có \(DN=PD+PN=CD-CP+PN=\frac{CA+BC-AB+CP+PA-CA-2CP}{2}\)

\(=\frac{BP+PA-AB}{2}=PM\) hay \(PN=DM\). Suy ra \(HE=DM\)

Mà tứ giác EFNM là hình thang cân nên \(HD||EM||FN\)

Nếu gọi DH cắt lại (I) tại K thì các tam giác cân \(EI_1M,KID,FI_2N\) đồng dạng có các cạnh tương ứng song song đôi một

Do đó \(II_1,DM,KE\) đồng quy tại B, \(II_2,DN,KF\) đồng quy tại C

Nói cách khác, BE và CF cắt nhau tại K. Vậy BE và CF gặp nhau trên (I).

\(\sqrt{4x^2-12x+9}=6\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(2x-3\right)^2}=6\)

\(\Rightarrow\left|2x-3\right|=6\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-3=6\\2x-3=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\x=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{9}{2};-\frac{3}{2}\right\}\)là ngiệm phương trình 

Ta có: \(\frac{B}{A}=1-\frac{\sqrt{x}}{2}\)

 \(\Rightarrow\frac{B}{A}-1=1-\frac{\sqrt{x}}{2}-1=-\frac{\sqrt{x}}{2}\le0\Rightarrow\frac{B}{A}\le1\)

\(\frac{B}{A}=\frac{\sqrt{x}-2}{-2}=\frac{\sqrt{x}}{-2}+1\) (x>0)

ta có \(\sqrt{x}>0\forall x>0\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{-2}< 0\forall x>0\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{-2}+1< 1\forall x>0\)

hay \(\frac{B}{A}< 1\forall x>0\)

O A B C D E I H K

Gọi BC giao OD và OE lần lượt tại H và K.

Vì \(OA=R\sqrt{2}=OB\sqrt{2}=OC\sqrt{2}\) nên tứ giác ABOC là hình vuông

Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{DOE}=45^0\), suy ra tứ giác DBOK nội tiếp 

Do đó \(\widehat{DKO}=180^0-\widehat{DBO}=90^0\) hay \(DK\perp OE\)

Tương tự \(EH\perp OD\). Suy ra \(\widehat{BDO}=\widehat{BKO}=\widehat{EDO}\) do DHKE nội tiếp

Suy ra DO là phân giác \(\widehat{BDE}\). Mà AO là phân giác \(\widehat{DAE}\) nên O là tâm bàng tiếp góc A của \(\Delta ADE\)

Do vậy \(DE+AD+AE=2AB=2R\)

Ta có \(2R=DE+AD+AE>DE+DE=2DE\Rightarrow DE< R\)

Lại có \(\frac{2}{3}R=\frac{DE+AD+AE}{3}< \frac{DE+DE+DE}{3}=DE\)

Vậy \(\frac{2}{3}R< DE< R.\)

\(\sqrt{2x^2-10x+11}=\sqrt{x^2-6x+8}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-10x+11=x^2-6x+8\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)

#H