a)

1. Ta có : ÐBEH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAEH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAFH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

ÐEAF = 90⁰ ( Vì tam giác  ABC vuông tại A) (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)

a, ta có : góc CFH=90°; góc HEB=90°(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác AEHF có góc A=gócE=góc F=90°

suy ra AEHF là hcn.

b, vì AEHF là hcn suy ra AEHF nội tiếp suy ra góc AFE=AHE( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)

ta lại có: góc AHE=ABH(cùng bù với BAH) (2)

từ 1 và 2 suy ra góc AFE=ABH

mà góc CFE+AFE=180°

suy ra góc CFE+ABH=180°

suy ra BEFC nội tiếp

c, gọi I và K lần lượt là tâm đtròn đường kính HB và HC

gọi O là giao điểm AH và EF

vì AEHF là hcn suy ra OF=OH suy ra tam giác FOH cân tại O

suy ra góc OFH=OHF

vì CFH vuông tại F suy ra KC=KF=KH

suy ra tam giác HKF cân tại K

suy ra góc KFH=KHF

mà góc KHF+FHA=90°

suy ra góc KFH+HFO=90°

suy ra EF là tiếp tuyến của đtròn tâm K

tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm I

vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC

D E F M N I R

a, có DM _|_ EF và EN _|_ DF (gt)

=> ^IMF = ^INF = 90

=> M;N thuộc đường tròn đường kính IF (Định lí)

=> F;N;I;M thuộc đường tròn đk IF

b, có DM _|_ EF và EN _|_ DF (gt)

=> ^END = ^DME  = 90

=> N;M thuộc đường tròn đk DE

=> D;N;M;E cùng thuộc đường tròn đk DE

có : \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x+2y\ge x+2\sqrt{xy}+y\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\cdot\sqrt{x+y}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}\ge\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2}}\)

áp dụng vào ta có :  

\(\sqrt{\frac{a+b}{c}}=\sqrt{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{b}{c}}\right)\)

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\)

\(\sqrt{\frac{c+a}{b}}=\sqrt{\frac{c}{b}+\frac{a}{b}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{a}\left(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\sqrt{b}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\sqrt{c}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)\right]\)

áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có :

\(VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a}\cdot\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{b}\cdot\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\sqrt{c}\cdot\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\)

có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{2\left(b+c\right)}\\\sqrt{a}+\sqrt{c}\le\sqrt{2\left(a+c\right)}\\\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\end{cases}}\)  nên \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\\\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(a+c\right)}}\\\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(a+b\right)}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow vt\ge2\cdot\left(\sqrt{\frac{a}{c+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

sao dòng 9 cs vậy bạn, sao VT lại >=1/ căn 2