\(\left(\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)\sqrt{3-\sqrt{5}}=\left(\sqrt{5}+1\right)\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1=4\)

\(\left(\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

\(=\left(\sqrt{5}+1\right)\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\left(\sqrt{5}+1\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1=4\)

\(\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-4x+4}=0\)

\(ĐKXĐ:\orbr{\begin{cases}x\le-2\\x\ge2\end{cases}}\)

\(\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=0\)

\(\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-2}=0\\\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=2\\\sqrt{x+2}=-\sqrt{x-2}\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=2\left(TM\right)\\2=0\left(KTM\right)\end{cases}}}}\)

vậy pt có nghiệm duy nhất là 2

Bài 2 : 

a, \(\sqrt{\left(x-5\right)^2}=7\Leftrightarrow\left|x-5\right|=7\)

TH1 : \(x-5=7\Leftrightarrow x=12\)

TH2 : \(x-5=-7\Leftrightarrow x=-2\)

b, \(\sqrt{2x-4}=12\Leftrightarrow2x-4=144\)ĐK : x >= 2

\(\Leftrightarrow2x=148\Leftrightarrow x=74\)

c, \(\sqrt{25x-25}-2\sqrt{9x-9}=-6\)ĐK : x >= 1

\(\Leftrightarrow5\sqrt{x-1}-6\sqrt{x-1}=-6\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=6\Leftrightarrow x=37\)

Bài 4 : 

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{400-144}=16\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB.AC=BC.AH\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{192}{20}=\frac{48}{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{144}{20}=\frac{36}{5}\)cm 

b, sinBAH = \(\frac{BH}{AB}=\frac{\frac{36}{5}}{12}=\frac{3}{5}\)

cosBAH = \(\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{48}{5}}{12}=\frac{4}{5}\)

tanBAH = \(\frac{BH}{AH}=\frac{\frac{36}{5}}{\frac{48}{5}}=\frac{36}{48}=\frac{3}{4}\)

cotaBAH = \(\frac{AH}{BH}=\frac{48}{36}=\frac{4}{3}\)

c, Ta có : \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\Rightarrow\frac{AB+AC}{ABAC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)

\(\Rightarrow\left(AB+AC\right)AD=\sqrt{2}ABAC\)(*) 

Vì AD là đường phân giác \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{20}{12+16}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}\)

\(\Rightarrow BD=\frac{5}{7}AB=\frac{5}{7}.12=\frac{60}{7}\)cm 

=> \(HD=BD-BH=\frac{60}{7}-\frac{36}{5}=\frac{48}{35}\)xm 

Theo Pytago tam giác AHD vuông tại H : 

\(AD=\sqrt{HD^2+AH^2}=\frac{48\sqrt{2}}{7}\)cm 

Thay vào (*) ta được : \(\frac{\left(12+16\right).48\sqrt{2}}{7}=\sqrt{2}.12.16\)*đúng*

Vậy ta có đpcm 

Có : A  = \(\frac{1-5\text{x}}{x+1}\left(x\ge0\right)\)

            = \(\frac{-5\left(x+1\right)+6}{x+1}\)

            = \(-5+\frac{6}{x+1}\)

Có : \(x\ge0\)\(\Rightarrow\)x + 1 \(\ge\)1

    \(\Rightarrow\)\(\frac{6}{x+1}\le\frac{6}{1}\)

    \(\Rightarrow\)\(\frac{6}{x+1}-5\le\frac{6}{1}-5=1\)

\(\rightarrow\)Amax = 1

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = 0

Vậy Amax = 1 khi x = 0

\(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{25}{ab}+ab\)

\(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{16}{ab}+ab+\frac{17}{2ab}\)

áp dụng :  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\) mà  \(a+b\le4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{1}{4}\)

theo cô si ta  có : \(\frac{16}{ab}+ab\Rightarrow2\sqrt{\frac{16}{ab}\cdot ab}=8\)

có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le4\) \(\Rightarrow\frac{17}{2ab}\ge\frac{17}{8}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{17}{8}+8+\frac{1}{4}=\frac{83}{8}\)

dấu = xảy ra khi a=b=2

Ta có : \(cos^215^o=sin^275^o;cos^225^o=sin^265^o;cos^235^o=sin^255^o;\frac{cos^245^o}{2}=\frac{sin^245^o}{2}\)

Khi đó \(N=sin^275^o+cos^275^o-\left(sin^265^o+cos^265^o\right)+sin^255^o+cos^255^o-\left(\frac{sin^245^0+cos^245^o}{2}\right)\)

Áp dụng công thức \(sin^2a+cos^2a=1\)ta được 

\(N=1-1+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy N = 1/2 

câu b chờ chút mình làm cho nhé <33

Ta có : \(cos^21^o=sin^289^o;cos^22^o=sin^288^o;...;cos^244^o=sin^246^o;\frac{cos^245^o}{2}=\frac{sin^245^o}{2}\)

Khi đó \(A=\frac{sin^245^o+cos^245^o}{2}+\left(sin^246^0+cos^246^o\right)+...+\left(sin^289^o+cos^289^o\right)\)

Áp dụng ct \(sin^2a+cos^2a=1\)ta được \(A=\frac{1}{2}+1+1+...+1=...\)

P/S : bạn tự đếm xem bao nhiêu cặp nhé ;) tìm ssh á 

\(2\left|2x-\frac{5}{7}\right|-1\ge-1\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=\frac{5}{7}:2=\frac{5}{14}\)

Vậy GTNN của biểu thức trên bằng -1 tại x = 5/14

\(2.\left|2x-\frac{5}{7}\right|-1\ge-1\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2x-\frac{5}{7}=0< =>x=\frac{5}{14}\)

vậy \(MIN=-1\)

\(2\left|2x-\frac{5}{7}\right|-1\)

Vì \(2\left|2x-\frac{5}{7}\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2\left|2x-\frac{5}{7}\right|-1\ge-1\forall x\)

Vậy  \(2\left|2x-\frac{5}{7}\right|-1\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\Leftrightarrow2x-\frac{5}{7}=0\Leftrightarrow2x=\frac{5}{7}\Leftrightarrow x=\frac{5}{14}\)

\(\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}=\frac{1+\tan a}{1-\tan a}=\frac{1+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7}}=\frac{\frac{8}{7}}{\frac{6}{7}}=\frac{4}{3}\)