a) Do MNPQ là hình vuông (gt)

⇒ ∠QMN = 90⁰

Do NB ⊥ QA (gt)

⇒ ∠NBQ = 90⁰

Tứ giác MNBQ có:

∠QMN + ∠NBQ = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

⇒ MNBQ nội tiếp

b) Xét hai tam giác vuông: ∆CPN và ∆CBQ có:

∠C chung

⇒ ∆CPN ∽ ∆CBQ (g-g)

⇒ CP/CB = CN/CQ

⇒ CP.CQ = CB.CN

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)+8\sqrt{x-1}+16}+\sqrt{(x-1)+4\sqrt{x-1}+4}=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+4)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}+2)^2}=6$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}+4|+|\sqrt{x-1}+2|=6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-1}+6=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=0$

$\Leftrightarrow x-1=0$

$\Leftrightarrow x=1$ (tm)

Lời giải:

Bổ sung đk $x,y,z\geq 0$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\geq \frac{9}{1+xy+1+yz+1+xz}=\frac{9}{xy+yz+xz+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
 

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)\)

\(=4-4m+4=-4m+8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+8>0

=>-4m>-8

=>m<2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=2m^2+\left|m+3\right|\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=2m^2+\left|m+3\right|\)

=>\(2m^2+\left|m+3\right|=2^2-5\left(m-1\right)\)

=>\(2m^2+\left|m+3\right|=4-5m+5=-5m+9\)

=>\(2m^2+\left|m+3\right|+5m-9=0\)(1)

TH1: -3<=m<2

(1) sẽ trở thành \(2m^2+m+3+5m-9=0\)

=>\(2m^2+6m-6=0\)

=>\(m^2+3m-3=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<-3

(1) sẽ trở thành \(2m^2-m-3+5m-9=0\)

=>\(2m^2+4m-12=0\)

=>\(m^2+2m-6=0\)

=>\(\left(m+1\right)^2=7\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{7}-1\left(loại\right)\\x=-\sqrt{7}-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)SB tại M

Xét tứ giác SKAM có \(\widehat{SKA}+\widehat{SMA}=90^0+90^0=180^0\)

nên SKAM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔANB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔANB vuông tại N

=>BN\(\perp\)SN tại N

Xét ΔSMA vuông tại M và ΔSNB vuông tại N có

\(\widehat{MSA}\) chung

Do đó: ΔSMA~ΔSNB

=>\(\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SA}{SB}\)

=>\(SM\cdot SB=SA\cdot SN\)

Lời giải:

a. PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$:

$x^2-mx-1=0(*)$
Ta thấy: $\Delta (*)=m^2+4>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ PT $(*)$ có 2 nghiệm pb với mọi $m$

$\Rightarrow (P), (d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb với mọi $m$

b.

$x_1,x_2$ là 2 nghiệm của $(*)$. Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m$

$x_1x_2=-1$

Khi đó:

$M=(y_1-1)(y_2-1)+2(x_1+x_2)+3=(mx_1+1-1)(mx_2+1-1)+2(x_1+x_2)+3$

$=m^2x_1x_2+2(x_1+x_2)+3=m^2(-1)+2m+3$

$=-m^2+2m+3=4-(m^2-2m+1)=4-(m-1)^2\leq 4$ do $(m-1)^2\geq 0$ với mọi $m$

Vậy $M_{\max}=4$. Giá trị này đạt tại $m-1=0\Leftrightarrow m=1$

Lời giải:

Giả sử năng suất dự định của tổ là $a$ sản phẩm/ ngày và làm trong $b$ ngày.

Theo bài ra ta có:

$ab=140$

$(a+4)(b-4)=140$

$\Leftrightarrow ab-4a+4b-16=140$

$\Leftrightarrow 140-4a+4b-16=140$

$\Leftrightarrow -a+b=4$

$\Leftrightarrow b=a+4$
Thay vào điều kiện $ab=140$ thì:

$a(a+4)=140$

$\Leftrightarrow a^2+4a-140=0$

$\Leftrightarrow (a-10)(a+14)=0$

$\Leftrightarrow a=10$ hoặc $a=-14$. Do $a>0$ nên $a=10$

Thực tế mỗi ngày tổ làm được: $a+4=10+4=14$ (sản phẩm)

Lời giải:

Giả sử theo kế hoạch mỗi ngày sản xuất $a$ sản phẩm và sản xuất trong $b$ ngày.

Theo bài ra ta có:

$ab=1100$

$(a+5)(b-2)=1100$

$\Leftrightarrow ab-2a+5b-10=1100$

$\Leftrightarrow 1100-2a+5b-10=1100$

$\Leftrightarrow 5b=2a+10$

Thay vào điều kiện $ab=1100$ thì:

$a.5b=5500$

$\Leftrightarrow a.(2a+10)=5500$

$\Leftrightarrow a(a+5)=2750$

$\Leftrightarrow a^2+5a-2750=0$

$\Leftrightarrow (a-50)(a+55)=0$

Do $a>0$ nên $a=50$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất 50 sản phẩm.

Gọi x (sản phẩm) là số sản phẩm theo dự định mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất (x > 0)

Số ngày sản xuất theo dự định: 1100/x (ngày)

Số sản phẩm thực tế mỗi ngày sản xuất được: x + 5 (sản phẩm)

Số ngày sản xuất thực tế: 1100/(x + 5) (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình:

1100/x - 1100/(x + 5) = 2

⇔ 1100(x + 5) - 1100x = 2x(x + 5)

⇔ 1100x + 5500 - 1100x = 2x² + 10x

⇔ 2x² + 10x - 5500 = 0

⇔ x² + 5x - 2750 = 0

⇔ x² - 50x + 55x - 2750 = 0

⇔ (x² - 50x) + (55x - 2750) = 0

⇔ x(x - 50) + 55(x - 50) = 0

⇔ (x - 50)(x + 55) = 0

⇔ x - 50 = 0 hoặc x + 55 = 0

*) x - 50 = 0

⇔ x = 50 (nhận)

*) x + 55 = 0

⇔ x = -55 (loại)

Vậy số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là 50 sản phẩm