\(a;b\ge0\)

\(\sqrt{b}=\sqrt{2009}-\sqrt{a}\)

BP 2 vế

\(b=2009+a+2\sqrt{2009.a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2009.a}\) là số nguyên

\(\sqrt{2009.a}=\sqrt{41.49.a}=7\sqrt{41.a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{41.a}\) là số nguyên => a có dạng \(a=41.m^2\)

Tương tự ta cũng có b có dạng \(b=41.n^2\)

Trong đó \(m;n\in N\) 

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{41m^2}+\sqrt{41n^2}=\sqrt{41.49}=7\sqrt{41}\)

\(\Rightarrow m+n=7\)

Ta có: \(y=\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{x+2+3}{x+2}=1+\dfrac{3}{x+2}\)

Do \(x\in Z\), để \(y\in Z\) thì \(\left(x+2\right)\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Nếu \(x+2=1\Rightarrow x=-1\)

Nếu \(x+2=-1\Rightarrow x=-3\)

Nếu \(x+2=3\Rightarrow x=1\)

Nếu \(x+2=-3\Rightarrow x=-5\)

Vậy \(x\in\left\{1;-1;-3;-5\right\}\)

Điều kiện \(x\ne-2\)

Ta có \(y=\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{x+2+3}{x+2}=1+\dfrac{3}{x+2}\)

Do \(1\inℤ\) nên để \(y\inℤ\) thì \(\dfrac{3}{x+2}\inℤ\) hay \(3⋮\left(x+2\right)\) hay \(\left(x+2\right)\inƯ\left(3\right)\) hay \(\left(x+2\right)\in\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Với \(x+2=1\Leftrightarrow x=-1\left(nhận\right)\)

\(x+2=-1\Leftrightarrow x=-3\left(nhận\right)\)

\(x+2=3\Leftrightarrow x=1\left(nhận\right)\)

\(x+2=-3\Leftrightarrow x=-5\left(nhận\right)\)

Vậy \(x\in\left\{-3;-5;-1;1\right\}\)

 giả sử tồn tại n ϵ N* để

    5^n-1 + 7^n-1 ⋮ 5ⁿ +7ⁿ

 ⇔ 35 (5^n-1 + 7^n-1) ⋮ 5ⁿ + 7ⁿ

⇔ 7.5ⁿ + 7ⁿ.5 ⋮ 5ⁿ + 7ⁿ 

⇔ 7. (5ⁿ + 7ⁿ) - 2.7ⁿ ⋮5ⁿ +7ⁿ

⇔2.7ⁿ ⋮ 5ⁿ + 7ⁿ

⇔2.7ⁿ = 5ⁿ + 7ⁿ 

⇔ 7ⁿ = 5ⁿ

⇔ n = 0 (loại)

vậy không có giá trị nào của n ϵ N^*  thỏa mãn đề bài 

$\frac{4.2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}.2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}}{1-co{s}^2\frac{a}{2}}=\frac{16si{n}^2\frac{a}{2}co{s}^2\frac{a}{2}}{1-co{s}^2\frac{a}{2}}$$=\frac{16si{n}^2\frac{a}{2}co{s}^2\frac{a}{2}}{1-\left(1-si{n}^2\frac{a}{2}\right)}=\frac{16si{n}^2\frac{a}{2}co{s}^2\frac{a}{2}}{si{n}^2\frac{a}{2}}=16co{s}^2\frac{a}{2}$