\(a^3-7a=6\)

\(=a^3+a^2-a^2-a-6a-6\)

\(=a^2\left(a+1\right)-a\left(a+1\right)-6\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a^2-a-6\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a^2-3a+2a-6\right)\)

\(=\left(a+1\right).\left[a\left(a-3\right)+2\left(a-3\right)\right]\)

\(=\left(a+1\right)\left(a-3\right)\left(a+2\right)\)

\(A=\left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right)\div\frac{2x^2+x}{x^3+x^2-x-1}\)

\(=\left[\frac{x+2}{\left(x+1\right)^2}-\frac{x-2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right].\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)}{2x^2+x}\)

\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)-\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}{2x^2+x}\)

\(=\frac{\left(x^2+x-2\right)-\left(x^2-x-2\right)}{2x^2+x}\)

\(=\frac{2x}{2x^2+x}=\frac{2}{2x+1}\)

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\left(\frac{x}{\left(x+y\right)^2}-\frac{x}{x^2-y^2}\right)-\frac{5x-3y}{y-x}\left(đk:x\text{≠}0-y;y\right).\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\left(\frac{x}{\left(x+y\right)^2}-\frac{x}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right)-\frac{5x-3y}{y-x}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\frac{x\left(x-y\right)-x\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)}+\frac{5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{1}{x}.\frac{x^2-xy-x^2-xy}{\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)}+\frac{5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{1}{x}.\frac{-2xy}{x-y}+\frac{5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{-2y}{x-y}+\frac{5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{-2xy+5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{5\left(x-y\right)}{x-y}\)

\(=5\)

Ta có đpcm

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\left[\frac{x}{\left(x+y\right)^2}-\frac{x}{x^2-y^2}\right]-\frac{5x-3y}{y-x}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\left[\frac{x}{\left(x+y\right)^2}-\frac{x}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right]-\frac{5x-3y}{y-x}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\left[\frac{x\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)}-\frac{x\left(x+y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2}\right]-\frac{5x-3y}{y-x}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\left[\frac{x^2-xy-x^2-xy}{\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)}\right]-\frac{5x-3y}{y-x}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x}.\frac{-2xy}{\left(x+y\right)^2\left(x-y\right)}-\frac{5x-3y}{y-x}\)

\(=\frac{-2y}{x-y}+\frac{5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{-2y+5x-3y}{x-y}\)

\(=\frac{5x-5y}{x-y}\)

\(=\frac{5\left(x-y\right)}{x-y}\)

\(=5\)

Vậy: ...

1 + 1 = 2

HT

1 + 1 = 2

HT

Đặt \(\left(n+2021\right)=p\)

Đặt \(p^2+2022=k^2\)

\(\Rightarrow k^2-p^2=2022\)

\(\Rightarrow\left(k-p\right)\left(k+p\right)=2022\)

Đặt \(a=k-p;b=k+p\)

\(\Rightarrow a.b=2022\) (1) là 1 số chẵn => trong 2 số a; b phải có ít nhất 1 số chẵn (2)

Ta có \(a+b=k-p+k+p=2k\) là 1 số chẵn => a; b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ (3)

Từ (2) và (3) => a; b phải cùng chẵn

Đặt \(a=2m;b=2q\left(m;q\in Z\right)\)

Từ (1) \(\Rightarrow a.b=2m.2q=2022\Rightarrow4mq=2022\Rightarrow m.q=\frac{2022}{4}\)

Vì n là số nguyên => n+2021=p là số nguyên => k là số nguyên => a; b là số nguyên => m;q là số nguyên => m.q là số nguyên

Mà 2022 không chia hết cho 4 => m.q không nguyên mâu thuẫn với m.q là số nguyên

Nên không tồn tại số tự nhiên m để \(\left(n+2021\right)^2+2022\) là số chính phương

Hay \(\left(n+2021\right)^2+2022\) không là số chính phương \(\forall n\)