Xét đa thức \(P\left(x\right)=x^4+6x^3-11x^2+6x+1\)

Giả sử P(x) có nghiệm hữu tỉ \(x=\dfrac{p}{q}\left(p,q\inℤ,\left(p,q\right)=1\right)\) thì \(q,p|1\)

\(\Rightarrow\left(p,q\right)=\left(1,-1\right),\left(-1,1\right),\left(1,1\right),\left(-1,-1\right)\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{p}{q}=\pm1\).

 Thử lại, ta thấy \(P\left(\pm1\right)\ne0\) nên P(x) không có nghiệm hữu tỉ. Do đó P(x) không thể phân tích được thành tích của 1 đa thức bậc nhất và 1 đa thức bậc 3.

 Khi đó đặt \(P\left(x\right)=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)\) với 

 \(\Rightarrow P\left(x\right)=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd\)

 \(\Rightarrow P\left(x\right)=x^4+\left(a+c\right)x^3+\left(b+d+ac\right)x^2+\left(ad+bc\right)x+bd\)

 Đồng nhất hệ số, thu được:

 \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=6\\b+d+ac=-11\\ad+bc=6\\bd=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b=d=\pm1\)

Nếu \(b=d=1\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a+c=6\\2+ac=-11\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=6\\ac=-13\end{matrix}\right.\).

Khi đó \(a,c\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-6x-13=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3+\sqrt{22}\\c=3-\sqrt{22}\end{matrix}\right.\) (loại)

Nếu \(b=d=-1\) thì \(-6=a+c=6\), vô lý.

Nên đa thức đã cho không thể phân tích được thành nhân tử nhé.

Gọi năng suất làm việc dự định của người đó là \(x\) (sản phẩm/giờ; \(x\in\mathbb{N}^*\))

Thời gian người đó hoàn thành công việc theo dự định là: \(\dfrac{14}{x}\) (giờ)

Năng suất làm việc của người đó thực tế là: \(x+3\) (sản phẩm/giờ)

Thời gian người đó hoàn thành công việc trên thực tế là: \(\dfrac{21}{x+3}\) (giờ)

Vì thời gian người đó hoàn thành công việc trên thực tế bằng thời gian người đó làm xong theo dự định nên ta có phương trình:

\(\dfrac{21}{x+3}=\dfrac{14}{x}\)

\(\Rightarrow21x=14\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow21x=14x+42\)

\(\Leftrightarrow7x=42\)

\(\Leftrightarrow x=6\) (tmđk)

Vậy năng suất làm việc của người đó theo dự định là 6 sản phẩm/giờ.

#$\mathtt{Toru}$

a) \(x^4-2x^3+2x^2-2x+a=\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2+bx+c\right)\) (sửa đề)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2x+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)+a-1=\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2+bx+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2+1\right)+a-1=\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2+bx+c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b=0\\c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c=1\\b=0\end{matrix}\right.\)

b) \(x^3+3x^2-x-3=\left(x-2\right)\left(x^2+bx+c\right)+a\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2+5x^2-10x+9x-18+15=\left(x-2\right)\left(x^2+bx+c\right)+a\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)+5x\left(x-2\right)+9\left(x-2\right)+15=\left(x-2\right)\left(x^2+bx+c\right)+a\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+5x+9\right)+15=\left(x-2\right)\left(x^2+bx+c\right)+a\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=15\\b=5\\c=9\end{matrix}\right.\)

#$\mathtt{Toru}$

a) Chu vi của miếng bánh là:

\(\dfrac{5x}{2}+8x+4y^2=\dfrac{5x+16x}{2}+4y^2=\dfrac{21x+8y^2}{2}\)

b) Chu vi của miếng bánh là:

\(\dfrac{21\cdot4+8\cdot3^2}{2}=78\left(cm\right)\)

c) Chu vi của miếng bánh là:

\(\dfrac{21\cdot1,5+8\cdot2,34^2}{2}=37,6524\left(cm\right)\)

d) Diện tích của miếng bánh là:

\(\dfrac{1}{2}\cdot8x\cdot\left(2,5x+1\right)=4x\left(2,5x+1\right)=10x^2+4x\)

Ta có: AC > BC > AB 

\(BC^2+AB^2=20^2+15^2=625\) (1)

\(AC^2=25^2=625\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BC^2+AB^2=AC^2\) 

Vậy ΔABC là tam giác vuông tại C

Ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=15\left(cm\right)\\BC=20\left(cm\right)\\AC=25\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625\left(cm\right)\\AC^2=25^2=625\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+BC^2=AC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông (theo định lý Pi-ta-go đảo)

Vậy \(\Delta ABC\) là tam giác vuông.

\(4\dfrac{7}{5741}\cdot\dfrac{1}{3759}-\dfrac{4}{3759}\cdot1\dfrac{2}{5741}+\dfrac{1}{3759}+\dfrac{1}{3759\cdot5741}\\ =\dfrac{22971}{5741}\cdot\dfrac{1}{3759}-\dfrac{1}{3759}\cdot\dfrac{22972}{5741}+\dfrac{1}{3759}\cdot\dfrac{5741}{5741}+\dfrac{1}{3759}\cdot\dfrac{1}{5741}\\ =\dfrac{1}{3759}\cdot\left(\dfrac{22971}{5741}-\dfrac{22972}{5741}+\dfrac{5741}{5741}+\dfrac{1}{5741}\right)\\ =\dfrac{1}{3759}\cdot\dfrac{5741}{5741}=\dfrac{1}{3759}\cdot1=\dfrac{1}{3759}\)

Với `x=-19 => 1-x=20`

Thay `1-x=20` vào B, ta được:

`B=x^{10}+(1-x).x^9+(1-x).x^8+...+(1-x).x^2+(1-x).x+20`

`=x^{10}+x^9-x^{10}+x^8-x^9+...+x^2-x^3+x-x^2+20`

`=x+20=-19+20=1`

\(x^4+6x^3+7x^2-6x+1\\ =\left(x^4+6x^3+9x^2\right)-2x^2-6x+1\\ =\left[\left(x^2\right)^2+2\cdot x^2\cdot3x+\left(3x\right)^2\right]-2\left(x^2+3x\right)+1\\ =\left(x^2+3x\right)^2-2\left(x^2+3x\right)+1^2\\=\left(x^2+3x-1\right)^2\)

\(g)\dfrac{x}{xy+y^2}-\dfrac{y}{x^2+xy}\\ =\dfrac{x}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{y}{x\left(x+y\right)}\\ =\dfrac{x^2}{xy\left(x+y\right)}-\dfrac{y^2}{xy\left(x+y\right)}\\ =\dfrac{x^2-y^2}{xy\left(x+y\right)}\\ =\dfrac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{xy\left(x+y\right)}\\ =\dfrac{x-y}{xy}\) 

h) 

\(\dfrac{x^2+4}{x^2-4}-\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{x}{2-x}\\ =\dfrac{x^2+4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}\\ =\dfrac{x^2+4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{x\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\dfrac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\\ =\dfrac{x^2+4-x^2+2x+x^2+2x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\\ =\dfrac{x^2+4x+4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\\ =\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\\ =\dfrac{x+2}{x-2}\) 

i) 

\(\dfrac{5}{6x-6}+\dfrac{9}{14x-14}+\dfrac{6}{7x-7}\\ =\dfrac{5}{6\left(x-1\right)}+\dfrac{9}{14\left(x-1\right)}+\dfrac{6}{7\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{7\cdot5}{42\left(x-1\right)}+\dfrac{3\cdot9}{42\left(x-1\right)}+\dfrac{6\cdot6}{42\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{35+27+36}{42\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{98}{42\left(x-1\right)}\\ =\dfrac{7}{3\left(x-1\right)}\)

\(x\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+10\right)+128\\ =\left[\left(x+6\right)\left(x+4\right)\right]\left[x\left(x+10\right)\right]+128\\ =\left(x^2+6x+4x+24\right)\left(x^2+10x\right)+128\\ =\left(x^2+10x+24\right)\left(x^2+10x\right)+128\\ =\left(x^2+10x\right)^2+24\left(x^2+10x\right)+128\\ =\left(x^2+10x\right)^2+8\left(x^2+10x\right)+16\left(x^2+10x\right)+128\\ =\left(x^2+10x\right)\left[\left(x^2+10x\right)+8\right]+16\left[\left(x^2+10x\right)+8\right]\\ =\left(x^2+10x+8\right)\left(x^2+10x+16\right)\)