Ta có: \(n\cdot n!=\left(n+1-1\right)\cdot n!=\left(n+1\right)n!-n!=\left(n+1\right)!-n!\)

(vì \(n!=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\Rightarrow\left(n+1\right)n!=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\cdot\left(n+1\right)=\left(n+1\right)!\)) 

 \(1\cdot1!+2\cdot2!+3.3!+4.4!+...+2004\cdot2004!\)

\(=2!-1!+3!-2!+4!-3!+5!-4!+...+2005!-2004!\)

\(=2005!-1!\)

\(=2005!-1\)

Mà: \(2005!-1< 2005!\)

\(\Rightarrow1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+...+2004\cdot2004!< 2005!\)

a) \(2,5:7,5=x:\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2,5}{7,5}=\dfrac{x}{\dfrac{3}{5}}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot2.5}{7,5}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}\) 

b) \(\dfrac{5}{6}:x=20:3\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{5}{6}}{x}=\dfrac{20}{3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3\cdot\dfrac{5}{6}}{20}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{8}\)

c) \(2\dfrac{2}{3}:x=1\dfrac{7}{9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}:x=\dfrac{16}{9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{8}{3}}{x}=\dfrac{16}{9}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\dfrac{8}{3}\cdot9}{16}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{-2}{x}=\dfrac{-x}{\dfrac{8}{25}}\left(ĐK:x\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{\dfrac{8}{25}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x}=x\cdot\dfrac{25}{8}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x}=\dfrac{25x}{8}\)

\(\Rightarrow25x\cdot x=2\cdot8\)

\(\Rightarrow25x^2=16\)

\(\Rightarrow x^2=\dfrac{16}{25}\)

\(\Rightarrow x^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\)

\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{4}{5}\)

Vậy:\(x\in\left\{-\dfrac{4}{5};\dfrac{4}{5}\right\}\)

-2/x = -x/(8/25)

x.(-x) = -2.(8/25)

-x² = -16/25

x² = 16/25

x = -4/5 hoặc x = 4/5

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3k\\y=4k\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(2x^2+3y^2=30\) ta được:

\(2.\left(3k\right)^2+3.\left(4k\right)^2=30\)

\(\Leftrightarrow66k^2=30\)

\(\Rightarrow k^2=\dfrac{5}{11}\)

\(\Rightarrow k=\pm\dfrac{\sqrt{55}}{11}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3\sqrt{55}}{11};y=\dfrac{4\sqrt{55}}{11}\\x=-\dfrac{3\sqrt{55}}{11};y=-\dfrac{4\sqrt{55}}{11}\end{matrix}\right.\)

e; \(x^2\) - 4\(x\) + 3 = 0

\(x^2\) - \(x\) - 3\(x\) + 3 = 0

(\(x^2\) - \(x\)) - (3\(x\) - 3) = 0

\(x\).(\(x\) - 1) - 3.(\(x\) - 1) = 0

    (\(x\) - 1).(\(x\) - 3) = 0

     \(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\)

     \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\) \(\in\) {1; 3}

f; 2\(x^2\) - 5\(x\) + 3

  2\(x^2\) - 2\(x\) - 3\(x\) + 3

  2\(x\).(\(x\) - 1) - 3.(\(x\) - 1) = 0

       (\(x\) - 1).(2\(x\) - 3) = 0

       \(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\2x-3=0\end{matrix}\right.\)

        \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\) \(\in\) {1; \(\dfrac{3}{2}\)}

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

    Quãng sông từ A đến B dài là:

        \(x\) \(\times\) 0,5 + y \(\times\) 1 = 0,5\(x\) + y (km)

Kết luận Quãng đường từ A đên B dài: 0,5\(x\) + y (km)

30=0,5 giờ

ta có biểu thức:

0,5x+1y

Nhận thấy : \(2x^4+3x^2\ge0\forall x\)

\(=>2x^4+3x^2+1\ge1\)

\(=>\left|2x^4+3x^2+1\right|=2x^4+3x^2+1\)

và : \(-2x^4-x^2=-\left(2x^4+x^2\right)\le0\)

\(=>-2x^4-x^2-1\le-1\)

\(=>\left|-2x^4-x^2-1\right|=-\left(-2x^4-x^2-1\right)\\ =2x^4+x^2+1\)

Lúc này biểu thức A được viết lại thành :

\(A=2x^4+3x^2+1-\left(2x^4+x^2+1\right)\\ =2x^2\ge0\forall x\)

Hay biểu thức A luôn không âm với mọi giá trị của x (DPCM)

Lời giải:

Áp dụng TCDTSBN:

$\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$

$=\frac{bza-cya}{a^2}=\frac{cxb-azb}{b^2}=\frac{ayc-bxc}{c^2}$

$=\frac{bza-cya+cxb-azb+ayc-bxc}{a^2+b^2+c^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0$

$\Rightarrow bz-cy=cx-az=ay-bx$

$\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Hay $a:b:c=x:y:z$ (đpcm)

Lời giải:
$xy=\frac{x}{y}$

$\Rightarrow x=xy^2$

$\Rightarrow x(1-y^2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $1-y^2=0$

Nếu $x=0$ thì: $0-y=0.y=0\Rightarrow y=0$ (loại vì $y\neq 0$)

Nếu $1-y^2=0\Rightarrow y=\pm 1$

Với $y=1$ thì $x-1=x.1=x$ (vô lý)

Với $y=-1$ thì $x+1=x(-1)=-x\Rightarrow x=\frac{-1}{2}$