Cho tam giác nhọn $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $A D, BE, CF$ $(D \in B C, E \in AC, F \in AB)$ của tam giác cắt nhau tại $H, M$ là trung điểm của $B C$.
1. Chứng minh $A E H F$ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh các đường thẳng $M E$ và $M F$ là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A E H F$.
3. Chứng minh $D E+D F \leq B C$.

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−2

và a³+b³+c³=1. CMR  1a+1b+1c=1

Cho phương trình $x^{2}-2 x+m-1=0$ ( $m$ là tham số $)$. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{4}-x_{1}^{3}=x_{2}^{4}-x_{2}^{3}$.

Giải phương trình $x^{2}-6 x+5=0$.

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}
4 x+3 y=11 \\
4 x-y=7
\end{array}\right. \text {. }$

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=(2 m+1) x+m$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1 ; 5)$.

Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\dfrac{3 x+25}{x-25}$, với $x \geq 0, x \neq 25$.
1. Rút gọn biểu thức $P$.
2. Tìm các giá trị của $x$ để $P=\dfrac{5}{7}$.

Bạn Ngọc lấy 500g nước biển chết và 400g nước biển thông thường và 10 lít nước ngọt đổ chung trong 1 cái thùng. Hỏi nước trong thùng có thể nước lợ được không (nước lợ có độ mặn từ 0,1% đến 1% và xem lượng muối trong nước ngọt là không đáng k

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Tìm GTLN của A = \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\)

cho ví dụ trong đó sự biến đổi năng lượng từ cơ năng sang điện năng , từ nhiệt năng sang cơ năng