Tính tổng lũy thừa:
B=\(1^2+3^2+5^2+...+2021^2\)
A=\(2^2+4^2+6^2+...+2020^2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O A B M N I C E
a/ Ta có
\(AO\perp MN\)
Nối BO \(\Rightarrow BO\perp MN;IM=IN\) (Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm tại trung điểm của dây cung đó)
\(\Rightarrow AO\equiv BO\) Hay nói cách khác B; A; I; O thẳng hàng
Xét hai tg vuông IMO và tg vuông NBO có
\(OM=ON=R\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O
\(OI\perp MN\)
\(\Rightarrow\widehat{MOI}=\widehat{BON}\) (trong tg cân đường cao từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác)
=> tg IMO đồng dạng với tg NBO \(\Rightarrow\frac{IO}{NO}=\frac{IM}{NB}\Rightarrow IO.NB=IM.NO\left(dpcm\right)\)
b/ Xét tg OMNB có
\(IM=IN;IO=IA\) => OMAN là hình bình hành \(\Rightarrow AM=ON=OM=AN=OA=R\)
=> tg AMO là tg đều mà \(MI\perp AO\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{OMI}=30^o\) (Trong tg đều đường cao đồng thời là đường phân giác)
Xét tg vuông MIO có \(IO=\frac{MO}{2}=\frac{R}{2}\) (Trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền)
Xét tg vuông BMO có
\(MO^2=OI.OB\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow OB=\frac{MO^2}{IO}=\frac{R^2}{\frac{R}{2}}=2R\)
Xét 2 tg vuông BMO và BNO có
BO chung
\(\widehat{MOI}=\widehat{BON}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta BMO=\Delta BNO\) (Theo trường hợp 2 tg vuông có cạnh huyền và 1 góc nhọn tương ứng bằng nhau thì bằng nhau)
\(\Rightarrow S_{OMNB}=S_{BMO}+S_{BNO}=2S_{BMO}=\frac{2.BM.MO}{2}=BM.MO=2R.R=2R^2\)
c/ Xét hình bình hành OMAN có \(MN\perp OA\) => OMAN là hình thoi (Hình bh có hai đường chéo vuông góc với nhau)
=> MN là đường phân giác của \(\widehat{AMO}\) và \(\widehat{ANO}\)
Mà \(\widehat{ANO}=\widehat{AMO}=60^o\) (Trong hbh hai góc đối diện bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{MNC}=30^o\)
Xét tg MNC có \(\widehat{NMC}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tg NMC là tg vuông tại M
\(\Rightarrow MC=\frac{NC}{2}=R\) (Trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền
Ta có \(BI=BO-IO=2R-\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}\)
Xét tg vuông ECM và tg vuông EBI có
MC//BI (cùng vuông góc với MN) \(\Rightarrow\widehat{MCE}=\widehat{IBE}\) (góc so le trong)
=> tg ECM đồng dạng tg EBI \(\Rightarrow\frac{MC}{BI}=\frac{EM}{EI}=\frac{R}{\frac{3R}{2}}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{EM}{IM}=\frac{2}{5}\)
Xét tg vuông MNC có \(MN=\sqrt{NC^2-MC^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
Mà \(IM=IN=\frac{MN}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{EM}{IM}=\frac{EM}{\frac{R\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{5}\Rightarrow EM=\frac{R\sqrt{3}}{5}\)
Ta có \(EN=MN-EM=R\sqrt{3}-\frac{R\sqrt{3}}{5}=\frac{4R\sqrt{3}}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{EN}{EM}=\frac{\frac{4R\sqrt{3}}{5}}{\frac{R\sqrt{3}}{5}}=4\Rightarrow\sqrt{\frac{EN}{EM}}=2\)
Mà đề bài bắt CM \(\sqrt{EN}=NC\sqrt{EM}\Rightarrow NC=\sqrt{\frac{EN}{EM}}\)
Mà NC=2R
Vậy xem lại đề bài
Sorry
\(\frac{NC}{CM}=\sqrt{\frac{EN}{EM}}\)
Mà \(\frac{NC}{CM}=\frac{2R}{R}=2\)
\(\Rightarrow\frac{NC}{CM}=\sqrt{\frac{EN}{EM}}\Rightarrow CM\sqrt{EN}=NC\sqrt{EM}\)
\(A=\left(cosa-sina\right)^3-\left(cosa+sina\right)^3\)
\(=cos^3a-sin^3a-3cosa.sina\left(cosa-sina\right)-cos^3-sin^3a-3sina.cosa\left(sina+cosa\right)\)
\(=-2sin^3a-6cos^2a.sina\)
\(C=\frac{4sina}{1+tan^2a}+2sina-5\)\(=4sina.cos^2a+2sina-5\)
Suy ra : \(B=A+C=-2sin^3a-2cos^2a.sina+2sina-5\)
\(=-2sin^3a-2\left(1-sin^2a\right)sina+2sina-5\)
\(=-5\)
Vì ^CAM = ^EAN (đ.đ)
=> \(\widebat{MC}=\widebat{EN}\)(1)
^MBC ( góc nội tiếp chắn cung MC ) (2)
^EBN ( góc nội tiếp chắn cung EN ) (3)
lại có (1)
Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra ^MBC = ^NBE
a, Xét tam giác MON có : OM = ON = R
=> tam giác MON cân tại O, do OI vuông MN hay OI là đường cao
đồng thời là đường phân giác => ^MOI = ^ION
Vì BN là tiếp tuyến đường tròn (O) với N là tiếp điểm
=> ON vuông BN hay ^ONB = 900
Xét tam giác IOM và tam giác NOB có :
^IOM = ^NOB ( cmt )
^OIM = ^ONB = 900
Vậy tam giác IOM ~ tam giác NOB ( g.g )
=> \(\frac{IO}{NO}=\frac{IM}{NB}\Rightarrow IO.NB=IM.NO\)
ý b sáng mai mình gửi nhé ;))
sửa hộ mình chỗ này nhé : ^OIM = ^ONB = 900
b, Vì I là trung điểm điểm OA => \(IO=IA=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\)
Theo định lí Pytago tam giác OIM ta được :
\(MI=\sqrt{OM^2-OI^2}=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\sqrt{\frac{3R^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}R}{2}\)
Vì BM là tiếp tuyến đường tròn (O) và M là tiếp điểm
=> OM vuông MB hay ^OMB = 900 => tam giác OMB vuông tại M
Xét tam giác OMB vuông tại M, đường cao MI
Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{1}{MI^2}\Rightarrow\frac{1}{R^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{1}{\frac{3R^2}{4}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{R^2}+\frac{1}{MB^2}=\frac{4}{3R^2}\Leftrightarrow\frac{1}{MB^2}=\frac{4}{3R^2}-\frac{1}{R^2}=\frac{1}{3R^2}\Rightarrow MB=\sqrt{3}R\)
CM : tam giác OMB = tam giác ONB ( ch - gn )
Ta có : \(S_{OMNB}=S_{OMB}+S_{ONB}=2S_{OMB}=\frac{2.1}{2}.OM.MB\)
\(=R.\sqrt{3}R=\sqrt{3}R^2\)
ta đã biến tổng \(S_n=1^2+2^2+..+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
Dễ thấy \(A=4\left(1^2+2^2+3^2+..+1010^2\right)=4S_{1010}=4\times1010\times1011\times\frac{2021}{6}\)
\(B=\left(1^2+2^2+..+2021^2\right)-\left(2^2+4^2+..+2020^2\right)=S_{2021}-A\)
\(=\frac{2021.2022.4043}{6}-\frac{4.1010.1011.2021}{6}=\frac{2021.2022.2023}{6}\)