\(AB=\frac{3}{4}AC\)nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\Rightarrow\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}=\frac{AB^2+AC^2}{9+16}=\frac{BC^2}{25}=\frac{15^2}{25}=9\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{AB^2}{9}=9\Rightarrow AB=9\left(cm\right)\\\frac{AC^2}{16}=9\Rightarrow AC=12\left(cm\right)\end{cases}}\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH nên

\(AH.BC=AB.AC\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=\frac{36}{5}\left(cm\right)\)

cảm ơn bạn đã giúp mình

a) đkxđ: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

 \(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+x+2}{1-x}\right):\)\(\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-3+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)\)\(=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}+x+2}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\right]\)\(:\left[\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{x-3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)

\(=\left[\frac{x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-x-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)\(:\left[\frac{x-1-x+3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)

\(=\frac{-2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)\(:\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{-2\left(\sqrt{x}+1\right).\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\)\(=\frac{-2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\)
b) Để P = -1 thì \(\frac{-2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}=-1\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}=1\Rightarrow2\sqrt{x}=2-\sqrt{x}\Leftrightarrow3\sqrt{x}=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{4}{9}\)(nhận)

c) Để P < -1/2 thì \(\frac{-2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}< \frac{-1}{2}\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}>\frac{1}{2}\Rightarrow4\sqrt{x}>2-\sqrt{x}\Leftrightarrow5\sqrt{x}>2\Leftrightarrow\sqrt{x}>\frac{2}{5}\Leftrightarrow x>\frac{4}{25}\)

Vậy để P < -1/2 thì \(\hept{\begin{cases}x>\frac{4}{25}\\x\ne1\end{cases}}\)

d) Ta có \(x=4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)

Thay \(x=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)vào P, ta có:

\(P=\frac{-2\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}=\frac{-2\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}=\frac{-2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2-\sqrt{3}-1}=\frac{-2\left(\sqrt{3}+1\right)}{1-\sqrt{3}}\)\(=\frac{-2\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}=\frac{-2\left(4+2\sqrt{3}\right)}{1-3}=4+2\sqrt{3}\)

Ta có:\(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow-3\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)=3\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{y^2+3}-y\)                                                 (1)

 Lại có:\(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow-3\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x\)                                               (2)

Cộng theo vế \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có:\(x+\sqrt{x^2+3}+y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{y^2+3}+\sqrt{x^2+3}-x-y\)

\(\Leftrightarrow2x+2y=0\Leftrightarrow x+y=0\)

Nhân cả 2 vế đẳng thức với \(\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(y-\sqrt{y^2+3}\right).\)

\(\Rightarrow VT=\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)=\)

\(=\left[x^2-\left(x^2+3\right)\right]\left[y^2-\left(y^2+3\right)\right]=\left(-3\right)\left(-3\right)=9\)

\(VP=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)=VT=9\)

\(\Rightarrow\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)=3=\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow xy-x\sqrt{y^2+3}-y\sqrt{x^2+3}+\sqrt{\left(x^2+3\right)\left(y^2+3\right)}=\)

\(=xy+x\sqrt{y^2+3}+y\sqrt{x^2+3}+\sqrt{\left(x^2+3\right)\left(y^2+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+3}=-y\sqrt{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2\left(y^2+3\right)}=\sqrt{y^2\left(x^2+3\right)}\) Bình phương 2 vế

\(\Leftrightarrow x^2y^2+3x^2=x^2y^2+3y^2\Leftrightarrow x^2-y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\Rightarrow x+y=0\) với đk \(x\ne y\)

ta có:

 . \(\hept{\begin{cases}tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\\cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\tan\alpha\times cot\alpha=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}7a+b=2\\a\left(2+m\right)+b=8\\a\left(8-m\right)+b=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7a+b=2\\2a+am+b=8\\8a-am+b=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7a+b=2\\2a+am+b+8a-am+b=12\\8a-am+b=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7a+b=2\\10a+2b=12\\8a-am+b=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7a+b=2\\5a+b=6\\8a-am+b=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7a+b-5a-b=-4\\5a+b=6\\8a-am+b=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a=-4\\b=6-5a\\8a-am+b=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=6-5.\left(-2\right)\\8.\left(-2\right)-\left(-2\right).m+b=4\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=16\\-16+2m+16=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=16\\2m=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=-2\\b=16\\m=2\end{cases}}}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (-2; 16; 2)

Gọi AH là bề rộng khúc sông và B là điểm đến của đò trên thực tế.

Dễ thấy rằng \(\widehat{B}=70^0\)theo giả thiết.

Đổi 15 phút = 1/4 giờ.

Độ dài AB là \(AB=v_{đò}.t_{AB}=12.\frac{1}{4}=3\left(km\right)\)

\(\Delta ABH\)vuông tại H nên \(AH=AB.\sin B\)(theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Thay \(AB=3km\left(cmt\right);\widehat{B}=70^0\)ta có:

\(AH=3.\sin70^0\approx2,819\left(km\right)\)

Vậy bề rộng khúc sông đó là khoảng 2,819 km.

Gọi A là chân tháp, B là đỉnh tháp và C là chỗ bóng của tháp trên mặt đất kết thúc.

Khi đó \(\Delta ABC\)vuông tại A có: \(AB=AC.\tan C\)(theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Thay \(AC=86cm\left(gt\right);\widehat{C}=34^{0^{ }}\left(gt\right)\)ta có:

\(AB=86.\tan34^0\approx58\left(cm\right)\)

Vậy \(AB\approx58cm\)

Về mặt toán học thì đây là lời giải nhưng trên thực tế thì bạn này kiếm đâu ra được tòa tháp cao chỉ hơn nửa mét?

bài này thầy cho chứ tớ k biết