Ta có  4x  - 2010 + 5x + 2008  + 6x - 2009 = 15x - 2011

áp dung đt 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a + b + c) thì trong ba số a; b; c tồn tại hai số đối nhau để giải

Ta có: \(\frac{19a+3}{b^2+1}=\left(19a+3\right).\frac{1}{b^2+1}=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)\)

\(\ge\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(=19a+3-\frac{19ab}{2}-\frac{3b}{2}\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{19b+3}{c^2+1}\ge19b+3-\frac{19bc}{2}-\frac{3c}{2}\)(2); \(\frac{19c+3}{a^2+1}\ge19c+3-\frac{19ca}{2}-\frac{3a}{2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(A=\frac{19a+3}{b^2+1}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)

\(=\frac{35\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)

\(\ge\frac{35.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{19.3}{2}+9=\frac{105}{2}-\frac{57}{2}+9=33\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

 Nước ta có nhiều tấm gương vượt lên số phận, học tập thành công (như anh Nguyễn ngọc kí, ...)Lấy nhan đề là ...

Tả một người thân (ông, bà, cha, mẹ, anh, chị, em... của em) - Loigiaihay

       \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\ge9\)

CM  BĐT  phụ:   \(a+\frac{1}{a}\ge2\)  (a>0)      (*)

            \(\Leftrightarrow\)\(a^2+1-2a\ge0\)    \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=1\)

Áp dụng BĐT  (*)  ta có:    \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2;\)  \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\)  \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)

suy ra:    \(3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

p/s: dạng BĐT về trình bày mk kém mong các you sửa sai cho