Cho \(a,b\) là hai số nguyên dương thỏa mãn \(a^2+b^2+6\) chia hết cho \(ab\)
a. Chứng minh rằng: \(a,b\) là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau (P/S: câu cho điểm :v)
b. Đặt \(p=\frac{a^2+b^2+6}{ab}.\) Hỏi \(p\) có là lập phương của một số tự nhiên không? Vì sao?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.


\(------------------------\)
Từ bất đẳng thức cơ bản sau: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) thì ta rút ra một bất đăng thức mới có dạng như sau:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
nên \(ab+bc+ca\le3\) \(\left(i\right)\)
\(---------------------\)
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
Thiết lập tương tự các mối quan hệ như trên theo sơ đồ hoán vị \(b\rightarrow c\rightarrow a\) như sau:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) với lưu ý đã chứng minh ở \(\left(i\right)\) suy ra \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

a/ x3 - 5x2 +3x+1 = 0
<=> (x3 - x2) + ( - 4x2 + 4x) + ( - x + 1) = 0
<=> (x - 1)(x2 - 4x - 1) = 0
<=> x = 1 hoặc x = 2 + \(\sqrt{5}\)hoặc x = 2 - \(\sqrt{5}\)