Cm (m+2n)² <= 9p² ( bunhiacopxki)

=>m+2n <= 3p

Có 1/m+2/n=1/m +1/n + 1/n >= (1+1+1)²/(m+2n) >= 9/3p >= 3/p 

dấu "=" khi m=n=p

bài này ko khó, bn biến đổi VT áp dụng C-S dạng Engel vào là dc

A B C D M N P

Do số điểm là hữu hạn nên số tam giác tạo ra hữu hạn

Giả sử \(S_{MNP}\)lớn nhất

qua M,N,P kể các đường song song với cạnh đối diện chúng cắt nhau tại ABC khi đó

\(S_{ABC}\le4S_{MNP}\le4\)

ta CM 2009 điểm đã cho thuộc tam giác ABC

 Giả sử co điểm D ở ngoài tam giác ABC khi đó \(S_{MNP}< S_{DMN}\) vô lí

Tìm giá trị của x để biểu thức P= \(\frac{x^2-x+1}{\left(x-1\right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

với a,b,c>0

áp dung bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)( bđt svacxo) ta có :

A=\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2016}{2}=1008\)

=> min A=1008 dấu bằng xảy ra <=>a=b=c=672 

Với \(\forall a\in N,\)ta luôn có: \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

Và tích của 3 số liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

do tích của 5 số TN liên tiếp

Mà (2,3,5)=1

=> \(a^5-a⋮30\)

Do vậy Ta có: \(mn\left(m^4-n^4\right)=\left(mn^5-mn\right)-\left(m^5n-mn\right)=m\left(m^5-n\right)-n\left(m^5-m\right)⋮30\)

minh ko biết

mình không biết đâu chỉ có thánh mới giải được

x,y,z là số thực à khó đấy số dương thì mk còn làm đc 

chứ số thực mk chịu

Biến đổi tương đương ta CM được BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)

CM tương tự với các phân thức còn lại

Cộng vế theo vế các BĐT đó ta được:

\(A\le\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)

Vậy Max A=1 <=> x=y=z=1

Sau mỗi lần xóa ta thấy dấu (-) được giữ nguyên hoặc giảm đi 2, vì thế tính chẵn lẻ của nó không đổi, mà ban đầu có lẻ dấu (-) nên cuối cùng sau khi xóa đi dấu đó là dấu (-)