Chứng minh: \(a.\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=b.\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BH
2
13 tháng 4 2020
Ta có: a , b > 1
=> a + b > 2 => a + b - 2 > 0
và ( a - 1) ( b - 1) > 0 => ab - 1 > a + b - 2 > 0
Xét hiệu: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{2}{ab+1}\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+1}-\frac{1}{ab+1}\right)+\left(\frac{1}{b^2+1}-\frac{1}{ab+1}\right)\)
\(=\frac{ab-a^2}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{ab-b^2}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\)
\(=\frac{a-b}{\left(ab+1\right)}\left(\frac{b}{b^2+1}-\frac{a}{a^2+1}\right)\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2.\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(b^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge0\)
=> \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b.
LT
0