a. giá trị nhỏ nhất của B=3 khi và chỉ khi x=y=1006

gọi  m1, m2 là khối lg nc bình 1, bình 2;         c1 là nhiệt dung riêng của nước

t' là nhiệt dộ bình 2

vì xảy ra 2 phương trình cân bằng nhiệt nên ta có: 

 \(\hept{\begin{cases}m_1c_1\Delta t_1=m_2c_2\Delta t_2\\m_2c_2\Delta t_2=m_3c_1\Delta t_3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1000}{6}.c_1.\left(29-10\right)=m_2c_2\Delta t_2\\m_2c_2\Delta t_2=\frac{1000}{10}.c_1.\left(29-t'\right)\end{cases}}\)( vì \(m=\frac{D}{v}\))

\(\Rightarrow\frac{1000}{6}.\left(29-10\right)=\frac{1000}{10}.\left(29-t'\right)\)

đến đây bn tự tìm t' nhé

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

tương tự: \(y^2+z^2\ge2yz\)VÀ \(x^2+z^2\ge2xz\)

Cộng vế theo vế: \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

a, \(P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Áp dụng bdt Cô-si ta có: \(P\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

b, Đặt \(t=\frac{1}{2004y}\)\(\Rightarrow t=\frac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}\)

\(=\frac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)

\(=\frac{x}{2004}+2+\frac{2004}{x}\)

Áp dụng bdt Cô-si ta có: \(t=\frac{1}{2004y}\ge2+2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 2004

\(\Rightarrow y\le\frac{1}{2004.4}=\frac{1}{8016}\)

Vậy GTLN của y = 1/8016 khi x = 2004

\(x^2-x+1=x^2-\frac{1}{2}\cdot2x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\in R\)