Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\left(1\right)\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2x\left(2\right)\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\left(3\right)\)

Cộng vế (1) ; (2) và (3) và chia mỗi vế cho 2 

\(\Rightarrow\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge x+y+z\left(đpcm\right)\)

ĐKXĐ\(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne\pm1\end{cases}}\)

P=\(11-x\)

Lần sau đăng để bạn phải đăng đầy đủ là đề yêu cầu gì nhá

\(PT\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]\left[x\left(x+1\right)\right]=24\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x\right)=24\)

Đặt \(x^2+x=a\ge-\frac{1}{2}\Rightarrow PT\Leftrightarrow a\left(a-2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a-24=0\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2-5^2=0\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(a+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=6\\a=-4\left(l\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-3\end{cases}}\)

Vậy nghiệm của phương trình trên là x=2 ; x=- 3

Ta có: (x-1)(x+1)(x+2)x=24

\(\Rightarrow\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right].\left[\left(x+1\right)x\right]=24\)

\(\Rightarrow\left[x^2+x-2\right].\left[x^2+x\right]=24\)

\(\Rightarrow\left[\left(x^2+x-1\right)-1\right].\left[\left(x^2+x-1\right)+1\right]=24\)

\(\Rightarrow\left(x^2+x-1\right)^2-1=24\)

\(\Rightarrow\left(x^2+x-1\right)^2=25\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x-1=5\\x^2+x-1=-5\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=5\\x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=5\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=-5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{-15}{4}\left(v.lí\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\\x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-3\end{cases}}\)

Kb vs mik nha!

A=(x.(x-7)).((x-3)(x-4))

A=(x^2-7x)(x^2-7x+12)

dat a=x^2-7x ta co

A=a(a+12)

A=a^2+12a+36-36

A=(a+6)^2-36

=>Amin=-36

dổi 30 phút =1/2 h 
gọi x là thời gian người đó định hoàn thành sản phẩm theo dự định ,dơn vị h 
gọi y là số sản phẩm ban đầu mà người dó làm dược trong một giờ 
=> xy= 150
Do mỗi giờ sản xuất làm nhiều hơn dự định 2 sản phẩm nên tổ không những làm xong trước dự định 30 phút mà còn làm thêm được 4 sản phẩm
=> (x-1/2) (y+2)=54 => xy -1/2y +2x -1 =154
=> 2x -1/2y =154-xy
=>2x-1/2y=4(do xy=150)
=> xy =y(2+1/4y) =2y +1/4 y^2 =150

Rồi,Đến đó bạn tự tính nhé,mk không giải nữa đâu 

Từ đề bài \(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-2x-2y+1+y^2-4y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+y^2-4y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)

Lập luận tìm được \(x=-1;y=2\)  thay vào A (tự tính)

ta có

\(M=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Lại áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)vào vế trên ta được \(M\ge3+2+2+2=9\left(dpcm\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky , ta có 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)

vì a;b;c >0 nên 1/a;1/b;1/c>0

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>=3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)(bđt cosi)

\(=3\sqrt[3]{abc}\cdot3\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9\cdot\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9\cdot\frac{\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

\(\Rightarrow\)đpcm

cách khác nhé:

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

C/m BĐT phụ:    \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)      (x,y > 0)

               \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}\ge\frac{2xy}{xy}\)

              \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\)

             \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)

Áp dụng BĐT trên ta có:

      \(VT=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\)

hay   \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)  (đpcm)

Dấu  "="  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Ta có : 

\(\left(2x+1\right)^2=\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}2x+1=x-1\\2x+1=1-x\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-x=-1-1\\2x+x=1-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=-2\\3x=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=0\end{cases}}}\)

Vậy \(x=-2\) hoặc \(x=0\)

Chúc bạn học tốt ~ 

( 2x + 1 )² = ( x - 1 )²

=> 2x + 1 = x - 1

=> 2x - x = -1 - 1

=> x = -2

Chúc bạn học zui!