A B C M N I D

\(a^2+b^2+c^2-\frac{3}{4}=a^2+b^2+c^2-\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{4}\right)=a^2+b^2+c^2-\left(a+b+c-\frac{3}{4}\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2-a-b-c+\frac{3}{4}=\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)\)

\(=\left(a^2-2\cdot\frac{1}{2}a+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+\left(b^2-2\cdot\frac{1}{2}b+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+\left(c^2-2\cdot\frac{1}{2}c+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\)

\(=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\)mà \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2>=0;\left(b-\frac{1}{2}\right)^2>=0;\left(c-\frac{1}{2}\right)^2>=0\)

\(\Rightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2>=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-\frac{3}{4}>=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2>=\frac{3}{4}\)

a + b + c = 3/2

=> (a + b + c)^2 = (3/2)^2=9/4 > 3/4

Có gì đó sai sai

gọi SI là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều S.ABCD và I là trung điểm của đoạn CD

=> SI là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao trong tam giác cân SCD

xét tam giác SID vuông tại I có:

SD^2= ID^2+SI^2

=> SI= 20cm

ta có Sxq = p.d= [( 25+25+30):2].20=800cm2

   Stp=Sxq+ Sđ= 800+(30.30)=1700cm2

S A B C H D

Gọi H là trung điểm của CD

Vì \(\Delta SCD\) cân tại S, có SH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao

.\(\Rightarrow SH\perp CD\)

Ta có :

\(CH=HD=\frac{CD}{2}=\frac{30}{2}=15\)

\(d=SH=\sqrt{SC^2-CH^2}=\sqrt{25^2-15^2}\)

\(=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)

Chu vi đáy là: 4. 30 = 120 (cm)

Diện tích xung quanh của hình chóp :

\(S_{xq}=p.d=\frac{1}{2}.120.20=1200\left(cm^2\right)\)

Diện tích đáy: S_d = 30² = 900 (cm²)

Diện tích toàn phần của hình chóp:

S_tp = S_xq + S_d = 1200 + 900 = 2100 (cm²)

vì a;b>0\(\Rightarrow a+b>=2\sqrt{ab}\Rightarrow1>=2\sqrt{ab}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\sqrt{ab}\Rightarrow\frac{1}{4}>=ab\)(bđt cosi)

dấu = xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2=1+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}+1+\frac{2}{b}+\frac{1}{b^2}\)

\(=2+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)>=2+2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot\frac{2}{b}}+2\cdot\sqrt{\frac{1}{a^2}\cdot\frac{1}{b^2}}\)(bđt cosi )

dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2};\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

\(=2+\frac{4}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{a^2b^2}}=2+\frac{4}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{ab}>=2+\frac{4}{\frac{1}{2}}+\frac{2}{\frac{1}{4}}=2+8+8=18\)

\(\Rightarrow M>=18\Rightarrow\)min M là 18

vậy min M là 18 khi a=b=\(\frac{1}{2}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2=\frac{\left(1+\frac{1}{a}\right)^2}{1}+\frac{\left(1+\frac{1}{b}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{a}+1+\frac{1}{b}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{2}\)(1)

Lại có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\)(2) 

Từ (1) và (2) => \(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2

Vậy MinM = 18, đạt được khi a = b = 1/2