(Lời giải có thể hơi khó hiểu một chút)

Đề bài yêu cầu ta giải pt nghiệm nguyên \(2^x+5^y=n^2\)

Ta xét modulo 5. Rõ ràng \(n^2=0,1,4\left(mod5\right)\) nên \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\)

\(2^1=2\left(mod5\right)\), \(2^2=4\left(mod5\right)\), \(2^3=3\left(mod5\right)\), \(2^4=1\left(mod5\right)\) và sau đó quay vòng lại.

Từ đó ta thấy số dư của \(2^n\) khi chia cho 5 lặp lại theo chu kì 4 đơn vị.

Đồng thời, để \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\) thì \(x=0,2\left(mod4\right)\) hay \(x\) chẵn.

Đặt \(x=2k\). Pt thành \(4^k+5^y=n^2\)

-----

Ta chuyển sang xét modulo 3.

Do \(4^k=1\left(mod3\right)\) và \(n^2=0,1\left(mod3\right)\) và \(5^y=\left(-1\right)^y\left(mod3\right)\) nên \(y\) lẻ.

(Chỗ này mình ghi tắt. Bạn thử suy luận xem tại sao \(y\) chẵn không được nhé).

------

Trong pt cần giải ta biến đổi thành: \(5^y=n^2-4^k=\left(n-2^k\right)\left(n+2^k\right)\).

Vế trái chỉ gồm tích các số 5, do đó ta có: \(\hept{\begin{cases}n-2^k=5^b\\n+2^k=5^a\end{cases}}\) và \(b< a,a+b=y\).

Lấy hai vế trừ nhau ta có: \(2^{k+1}=5^a-5^b=5^b\left(5^{a-b}-1\right)\).

Vế trái không chia hết cho 5, nếu \(b\ge1\) thì vế phải sẽ chia hết cho 5 nên không được.

Vậy \(b=0,a=y\) và ta có \(2^{k+1}=5^y-1\).

-----

Ta viết \(5^y-1=\left(5-1\right)\left(5^{y-1}+5^{y-2}+...+5+1\right)\).

Để ý thấy, từ \(5^{y-1}\) tới \(5^0\) có \(y\) số lẻ, tức là tổng của chúng lẻ.

Chứng tỏ tổng này không là lũy thừa của 2, trừ trường hợp tổng đó là 1.

Tức là \(y=1\). Từ việc \(5^y-1=2^{k+1}\) suy ra \(k=1,x=2\).

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) là nghiệm duy nhất của pt.

F=1.41....

Trước hết ta sẽ giải quyết phần \(\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}\)

ta có công thức rút gọn sau: \(S+_-2\sqrt{P}\Rightarrow x^2-Sx+P\Leftrightarrow x_1=a;x_2=b\Rightarrow S+2\sqrt{P}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

 \(\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}\Rightarrow x^2-5x+3\sqrt{3}=0\left(1\right)\)

\(\left(a=1;b=-5;c=3-\sqrt{3}\right)\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4.1.\left(3-\sqrt{3}\right)=13+4\sqrt{3}>0\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{13+4\sqrt{3}}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}=2\sqrt{3}+1\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+2\sqrt{3}+1}{2.1}=3+\sqrt{3}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\left(2\sqrt{3}-1\right)}{2.1}=2-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}=\sqrt{\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(F=\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3+\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow F=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Nhân cả tử và mẫu của hai căn với căn 2 

Từ đó ta sẽ được hằng đẳng thức ở tử và rút gọn mất căn:

 \(\Leftrightarrow F=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

an^2=54756+15n=>n=\(\frac{an^2-54756}{15}\)

vì 1000<n<2000=>264<an<292

khởi tạo biến đếm D:263->D bằng cách 263 shift rcl sin

ghi vào màn hình D=D+1:X=\(\frac{D^2-54756}{15}\)

ấn calc và lặp phím =.

đáp số an=264,n=996;an=276,n=1428;an=279,n=1539;291,n=1995

bạn gửi lời mời đi

có , mk kb rồi

\(\left(3+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)-\left(3-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)=\sqrt{34.64911064}\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-y^2\right)\left(x^2+xy^2+y^4+y^4\right)=0\)

sếp cho em hỏi làm thế nào để phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử với Plz

2 + 2 + 3

= (2 x 2) + 3

= 4 + 3

= 7

2+2+3= 7 

x^3-4(x+2)=0

x^3-4x+8-8=0

x^3-4x=0

x(x^2-4)=0

=> x=0 va x^2=4 

x=0 va x = -2 va 2

vậy phương trình có 3 nghiệm

nhanh nhanh nên thứ 2 m thu rồi

BĐT cần chứng minh tương đương \(a^4+b^4+c^4\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-abc\left(a+b+c\right)\)

mà \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(BĐT cauchy)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(cần chứng minh)

ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(hệ quả BĐT cauchy)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=c

Trái dấu bất đẳng thức rồi kìa