Ta có : x³ + x² + 2x - 16 \(\ge0\)

<=> \(x^3-2x^2+3x^2-6x+8x-16\ge0\)

<=> \(x^2\left(x-2\right)+3x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+3x+8\right)\ge0\)

Vì \(x^2+3x+8>0\forall x\)

Nên : \(x-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

Cám ơn At the speed of light!

x3 + y3 = 35

       \(\left(x+y\right)^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+2xy=9\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy=9-\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(2xy=9-13=-4\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=-2\)

     \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=45\)  (thay các giá trị vào: x+y=3;  x²+y²=13;  xy=-2)

a, A= -3x² + 15x + 3x² - 12x -3x + 10

    A= 15x - 15x + 10

    A= 10

b, B= 4x³ - 28x² + 8x - 4x³ + 28x² - 8x + 20

    B= 20

Theo giả thiết ta có: các bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh

\(\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}\le1\)

\(\Rightarrow a\left(4-a\right)\left(4-b\right)+b\left(4-b\right)\left(4-c\right)\)\(+c\left(4-c\right)\left(4-a\right)\le\left(4-a\right)\left(4-b\right)\)\(\left(4-c\right)\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le4\)

Bất đẳng thức trên mang tính hoán vị giữa các bất đẳng thức nên không mất tính tổng quát ta giả swr c nằm giwuax a và b khi đó ta có:

\(a\left(a-c\right)\left(b-c\right)\le0\)

Thực hiện phép khai triển ta được: \(a^2b+c^2a\le a^2c+abc\)rồi cộng thêm \(\left(b^2c+abc\right)\)vào 2 vế ta được:

\(a^2b+b^2c+c^2a+abc\)\(\le a^2c+b^2c+2abc=c\left(a+b\right)^2\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức AM-GM ta có:

\(c\left(a+b\right)^2=\frac{1}{2}2c\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)\(\le\frac{\left(2c+a+b+a+b\right)^3}{2.27}=4\)nên Bất Đẳng Thức đã được chứng minh

Vậy \(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le1\)( đpcm )