Gọi ƯCLN ( 4n + 3 ; 10n + 7 ) = d \(\left(d\inℕ^∗\right)\)

Ta có : \(4n+3⋮d\Rightarrow20n+15⋮d\)(1) 

\(10n+7⋮d\Rightarrow20n+14⋮d\)(2)

Lấy (1) - (2) ta được : \(20n+15-20n-14⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi \(ƯCLN\left(4n+3;10n+7\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\10n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(4n+3\right)⋮d\\2\left(10n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}20n+15⋮d\\20n+14⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(20n+15\right)-\left(20n+14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow20n+15-20n-14⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)(vì \(d\inℕ^∗\))

Do đó \(ƯCLN\left(4n+3;10n+7\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{4n+3}{10n+7}\)là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n (điều phải chứng minh).

Tổng quát :  \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản \(\LeftrightarrowƯCLN\left(a;b\right)=1\)(tức là 2 số a và b nguyên tố cùng nhau).

\(2^x\left(2^{2016}-1\right)=2^{2019}-2^3=2^3\left(2^{2016}-1\right).\)

\(\Rightarrow2^x=2^3\Rightarrow x=3\)

\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+...+\frac{9999}{10000}\)

\(=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{100^2-1}{100^2}\)

\(< \frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}+...+\frac{100^2}{100^2}\)

\(=1+1+...+1\)(\(99\)số hạng) 

\(=99\)

\(\left(y^2-2\right)\left(y^2-25\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y^2-2>0\\y^2-25< 0\end{cases}}\)(vì \(y^2-2>y^2-25\)) 

\(\Leftrightarrow2< y^2< 25\)

Mà vì \(y\inℤ\Rightarrow y^2\inℤ\)suy ra \(y^2\in\left\{4,9,16\right\}\Leftrightarrow y\in\left\{-4,-3,-2,2,3,4\right\}\).

ƯC(55,100)={1;5;55}

Tớ nghĩ đay là ưc của 55 và 100 nếu cậu thấy thiếu thì cố gắng tìm thêm nhé.

mn giúp e vs, bài hơi gấp