a) Áp dụng bài toán sau : a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a³ + b³ + c³ = 3abc

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}\)

Ta có : \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)

\(A=xyz.\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.3.\frac{1}{xyz}=3\)

b)  x² + y² + z² - xy - 3y - 2z + 4 = 0

4x² + 4y² + 4z² - 4xy - 12y - 8z + 16 = 0

( 4x² - 4xy + y² ) + ( 3y² - 12y + 12 ) + ( 4z² - 8z + 4 ) = 0

( 2x - y )² + 3 ( y - 2 )² + 4 ( z - 1 )² = 0

Ta có : ( 2x - y )² \(\ge\)0 ;  3 ( y - 2 )² \(\ge\)0 ;  4 ( z - 1 )² \(\ge\)0

Mà ( 2x - y )² + 3 ( y - 2 )² + 4 ( z - 1 )² = 0 

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\y-2=0\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=1\end{cases}}}\)

Vậy ....

Giả sử CD cắt AM tại H 
Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại P 
Ta có: 
tg CHM = tg BMP 
=> HM=MP 
Do BP// CD => AD/AB = AH/AP (*) 

Giả sử AC =a 
Mặt khác xét tg vuông ACM, đường cao CH ta có: 
1/CH^2 = 1/AC^2 + 1/CM^2 = 1/a^2 + 1/(a/2)^2 = 5/a^2 
=> CH^2 = a^2/5 
Do CH^2 = AH.HM 
=> AH.HM = a^2/5 (**) 
mà AC^2 = AH.AM =a^2 (***) 

Chia (**) và (***) => HM/AM = 1/5 
=> HM = AM/5 
=> HP/2 = (AP -MP)/5 = (AP -HP/2)/5 

=> HP = 1/3AP => AH = 2/3AP 
Từ (*) => AD/AB =2/3 => AD= 2AB/3 
=> DB= AB/3 
=> AD = 2BD

c/m AEDF là hình vuông.

\(S_{ADB}+S_{ADC}=S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.3.4=6\left(cm^2\right)\)

\(\frac{S_{ADB}}{S_{ADC}}=\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}S_{ABC}=\frac{3}{7}.6=\frac{18}{7}\left(cm^2\right)\)

\(S_{ADB}=\frac{1}{2}DF.AB\Rightarrow\frac{18}{7}=\frac{1}{2}.DF.3\Rightarrow DF=\frac{12}{7}\left(cm\right)\)

\(S_{AEDF}=DF^2=\left(\frac{12}{7}\right)^2=\frac{144}{49}\left(cm^2\right)\)

                   Giải

Diện tích hình chữ nhật JKMN là: 8.6 = 48 (cm2)

Diện tích tam giác vuông JAB là: JA.JB/2 = 2.2/2 = 2 (cm2).

Diện tích tam giác vuông AKI là: AK.KI/2 = 2 (cm2).

Diện tích tam giác vuông HLG là: HL.LG/2 = 1,5 (cm2).

Diện tích hình thang vuông GLMF là:

\(\frac{\left(GL+FM\right).LM}{2}=\frac{\left(1+2\right).2}{2}=3\left(cm^2\right)\)

Diện tích hình thang vuông CDEN là:

\(\frac{\left(CN+DE\right).EN}{2}=\frac{\left(2+4\right).2}{2}=6\left(cm^2\right)\)

Vậy diện tích của hồ nước trên bản đồ là:

SABCDEFGHI = SJKML – SAJB – SAKI – SHLG – SGLMF – SCDEN

= 48 – 2 – 2 – 1,5 – 3 – 6

= 33,5 (cm2).

Bản đồ tỉ lệ 1 : 10 000 nên diện tích thực của hồ là:

33,5.10 000 = 335 000 (cm2) = 33,5 m2.