a)  \(5x^3+6x^2+12x+8=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3.2.x^2+3.2^2.x+2^3+4x^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^3=-4x^3\)

\(\Leftrightarrow x+2=-x\sqrt[3]{4}\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+\sqrt[3]{4}\right)=-2\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-2}{1+\sqrt[3]{4}}\)

b) ĐK:  \(x\ge15\)

Đặt  \(\sqrt[3]{x-20}=a\);\(\sqrt{x-15}=b\ge0\)

ta có: \(a^3-b^2=x-20-x+15=-5\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=7\\a^3+b^2=-5\end{cases}}\)

Giải hệ rùi thay vào thôi

cái chỗ hệ là   \(a^3-b^2=-5\)nka! ! tui viết nhầm

Điều kiện xác định \(-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\) và \(x\ne0\).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a ta có:
\(\left(x+\sqrt{2-x^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+2-x^2\right)=4\).
Suy ra \(-2\le x+\sqrt{2-x^2}\le2\).
Áp dụng bất dẳng Cô-si ta có: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\).
Suy ra \(VT\le2,VT\ge2\), Suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{2-x^2}=2\\x^2+\frac{1}{x^2}=2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=1\).

 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\Leftrightarrow a+b=ab\).
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\) \(a+b=a-1+b-1+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=2\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=1\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\)\(\Leftrightarrow a+b=ab\) (luôn đúng).
Ta hoàn thành chứng minh.