a)    \(\sqrt{7}-\sqrt{5}< \sqrt{5}-\sqrt{3}\)

b)     \(\sqrt{15}-\sqrt{14}< \sqrt{14}-\sqrt{13}\)

x⁶ - x⁴ + 2x³ + 2x² = x²(x + 1)²(x² - 2x + 2) = y².

do đó x² - 2x + 2 = t² hay (x - 1)² + 1 = t² hay (x - 1 - t)(x - 1 + t) = 1.

đến đấy bạn tự giải nhé.

$ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

\(\sqrt{3+\frac{\sqrt{13}+1}{2}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{13}}{2}}=\sqrt{\frac{14+2\sqrt{13}}{4}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}+1}{2}\right)^2}\)

=\(\frac{\sqrt{13}+1}{2}\)

cứ như thế ta có kết quả là\(\frac{\sqrt{13}+1}{2}\)

Ẹt số xui đưa link cũng bị duyệt

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\). TƯơng tự cho 3 BĐT còn lại

\(\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}};\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\)

Nhân theo vế 4 BDT trên ta có: 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\left(\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\right)^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

Hay ta có ĐPCM

A\(\left(3-\sqrt{3}\right)\left(-2\sqrt{3}\right)+\left(3\sqrt{3}+1\right)^2\)=\(6-6\sqrt{3}+9+6\sqrt{3}+1\)

                                                                                 =16

B,\(\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{3}\right)\sqrt{5}+\sqrt{60}\) =\(15-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=15\)

Ta có: \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{121}-\sqrt{120}\)

\(=\sqrt{121}-1=11-1=10\)

Lại có đánh giá: \(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\left(k>1\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k+1-k}=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)

SUy ra \(B>1+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(=1+2\left(\sqrt{36}-\sqrt{2}\right)>1+2\left(6-1\right)=10=A\)

Nên B>A

Phương trình trên có nghiệm bằng 1

Ta có thể phần tích thành ( x - 1 ) f(x)  bằng 0

\(\sqrt{5x^2+6x+5}-4=\frac{64x^3+4x}{5x^2+6x+6}-4\)

Bạn trục căn thức là ra ( x- 1)

đặt \(t=\sqrt{5x^2+6x+5}\). khi đó pt tương đương:

\(t=\frac{64x^3+4x}{t^2+1}\)hay \(t^3+t=64x^3+4x\Leftrightarrow\left(64x^3-t^3\right)+\left(4x-t\right)=0\)

\(\left(4x-t\right)\left(16t^2+4xt+2\right)\)

đến đây tự giải tiếp bạn nhé.