Gọi x là quãng đường AB:

=>Thời gian từ A đến B là:\(\frac{x}{30}h\)

TG đi từ A đến B là:\(\frac{x}{30}h\)

Vì TG tổng cộng hết 5h30p = \(\frac{11}{2}h\)nên ta có phương trình

\(\frac{x}{30}+\frac{x}{24}+1=\frac{11}{2}\)

<=>\(\frac{4x}{120}+\frac{5x}{120}+\frac{120}{120}=\frac{660}{120}\)

<=>4x + 5x + 120 = 660

<=>9x = 660 - 120

<=>9x = 540

<=>x = 60

Vậy AB = 60 km

\(\Delta AEH\infty\Delta AHB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AB.AE=AH^2\)

\(\Delta AFH\infty\Delta AHC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AC.AF=AH^2\)

Do đó: \(AB.AE+AC.AF=2AH^2\)

C/m được AFHE là hình chữ nhật \(\Rightarrow AH=EF\)

Vậy \(AB.AE+AC.AF=2EF^2\)

\(P=\frac{3\left(x+1\right)}{x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}=\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(=\frac{3}{x^2+1}\le\frac{3}{0+1}=3\) (do \(x^2\ge0\))

Dấu "=" xảy ra khi x = 0

Vậy \(P_{max}=3\Leftrightarrow x=0\)

a) dễ dàng chứng minh được EN = NH = NF= 1/2 AM (đường trung tuyến tg vuông)
ta có MNH = NAH + NHA = 2NAH 
MNF= NAF + NFA = 2NAF
\Rightarrow MNH + MNF = 2NAH + 2NAF \Rightarrow HNF = 60*\Rightarrow tg HNF là tam giác đều (1)
Ta có MNE = NAE + NEA = 2NAE 
MNH = NAH + NHA = 2NAH
\Leftrightarrow MNE - MNH=2NAE-2NAH \Leftrightarrow ENH = 60* \Rightarrow tg ENH là tg đều (2)
Từ (1) và (2) suy ra EN = NF=FH= HE \Rightarrow ENFH là hình thoi
b) I là trực tâm của tam giác đều ABC \Rightarrow I cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
lấy K là trung điểm của AI \Rightarrow AK=KI=IH 
Gọi giao điẻm của EF và NH là O \Rightarrow HO = ON
tg KNH có IO là đường trung bình \Rightarrow IO // KN (3)
tg AIM có KN là đường trung bình \Rightarrow KN // MI (4)
Từ (3) và (4) suy ra M,I,O thẳng hàng
\Rightarrow dpcm

gọi năng suất  xí nghiệp ban đầu là x (x>0)

                 sản phầm                thời gian                      năng suất

dự tính       20x                                20                            x

thực tế        18x\(\frac{6x}{5}\)                       18                     x+20%x=\(\frac{6x}{5}\)

theo bài ra ta có phương trình

20x+24=18x\(\frac{6x}{5}\)=\(\frac{108x}{5}\)

24=\(\frac{108x}{5}-\text{​​}\text{​​}20x=\frac{8x}{5}\)

x=15 ( thỏa mãn điều kiện ) 

vậy số thảm mà xí nghiệp đã làm trong 18 ngày : 18x15=324 ( thảm)

hơi lỗi nhưng thanh =))