Đề như thế này ak???

\(2\left(3x+5\right)\times\sqrt{x^2}+9=3x+2x+30\)

Bỏ số 9 vào căn luôn bạn ạ

bình phương hai về bất đẳng thức ta được 

\(1+b+1+c+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)\)

\(\Leftrightarrow2+\left(b+c\right)+2\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge4\left(1+a\right)\)(1)

do \(\left(\sqrt{1+b}-\sqrt{1+c}\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow2+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\) (2)

lay (1)  +(2) ta co \(4+2\left(b+c\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\) 

\(\Leftrightarrow2\left(b+c\right)\ge4a\Leftrightarrow b+c\ge2a\left(dpcm\right)\) 

\(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\Leftrightarrow27abc\le\left(a+b+c\right)^3\)

Lại theo BĐT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) nên 

\(\left(a+b+c\right)^3\ge\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3=27abc\)

Xảy ra khi a=b=c

Thế thôi :v

Áp dụng bất đẳng thức x^2+y^2 ≥ 2xy  nên ta có x^2+y^2+xy ≥ 3xy
Mà x^2+y^2+xy=x^2y^2 ≥ 0 nên suy ra x^2y^2+3xy ≤ 0 ⟺−3 ≤ xy ≤ 0
Vì x,y nguyên nên xy nguyên, vậy nên xy∈{−3,−2,−1,0}
Trường hợp xy=−3 ta tìm được các nghiệm (−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)
Trường hợp xy=−2 ta tìm được các nghiệm (−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)
Trường hợp xy=−1 ta tìm được các nghiệm (−1,1),(1,−1)
Trường hợp xy=0 ta tìm được nghiệm (0,0)
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm (0,0),(1,−1),(−1,1) thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm 

P max <=> (x + y)(y + z)(z + x) min

Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số , ta có :

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

Nhân vế theo vế 

=> \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2.\sqrt{xy}.2.\sqrt{yz}.2.\sqrt{zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

=> Min = 8xyz

=> \(Max_P=\frac{xyz}{8xyz}=\frac{1}{8}\)

Còn xét từng giá trị x,y,z thì tớ không biết làm :)

Áp dụng BĐT  , ta có:
 
 

tổng các hệ số là 1+(-4)+2=-1

mik ghi sai đề đề đúng là P(x)=(x²-4x+2)²⁰¹⁷

P(x) chia hết cho x-2 cần P(2)-0 nên thay x=2 vào P(x) được: P(x)=2^4-5.2^3-4.x^2+3.2+m=m-34=0 =>m=34

tương tự tìm n=-40

tại sao P(x) muốn chia hết cho x-2 thì P(2) phải bằng 0

\(P=\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{\left(x^2-2x+1\right)+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)