tương tự Xem câu hỏi

JBMO 2003 :3

Dễ thấy:\(y\le\frac{y^2+1}{2}\Rightarrow\frac{1+x^2}{1+y+z^2}\ge\frac{1+x^2}{1+z^2+\frac{1+y^2}{2}}\)

Tương tự cho các BĐT còn lại nhé :v

Đặt \(a=1+x^2;b=1+y^2;c=1+z^2\) thì cần cm

\(A=\frac{a}{2c+b}+\frac{b}{2a+c}+\frac{c}{2b+a}\ge1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có: 

\(A=\frac{a^2}{2ac+ab}+\frac{b^2}{2ab+bc}+\frac{c^2}{2bc+ac}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

thực hiện phép tính nha cám ơn m.ng

\(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2\left(b+c\right)}\)

Sử dụng bất đẳng thức COSI quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

=>\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{16\left(a+b\right)}+\frac{1}{16\left(a+c\right)}+\frac{1}{8\left(b+c\right)}\)

Làm tương tự đối với 2 biểu thức kia ta dc P\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{2017}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4034}\)

dùng Bất Đẳng Thức Cauchy chứng minh: với các số dương x;y;z;t 

\(\left(x+y+z+t\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\ge16\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\le\frac{16}{x+y+z+t}\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=t áp dụng vào bài toán ta có

\(\frac{1}{2a+3b+3c}=\frac{1}{16}\cdot\frac{16}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{2}{b+c}\right)\)

từ đó tìm được maxP=502,25 dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4034}\)

Biểu thức bằng \(\left(x^2+x+1\right)^2=\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)^2\ge\frac{9}{16}\)

Dấu bằng khi x=-1/2

\(\frac{a+b}{a^2+b^2+2}=\frac{a+b}{\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)}\le\frac{a+b}{2a+2b}=\frac{1}{2}\)

TT =>\(A\le\frac{3}{2}\)

Dấu bằng khi a=b=c=1

=\(\frac{-4}{3}\)

\(A=\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+1\right).\left(\sqrt{5}-1\right)^2.\sqrt{3+\sqrt{5}}\)

\(A=\left(\sqrt{5}+1\right).\left(\sqrt{5}-1\right)^2.\sqrt{6+2\sqrt{5}}=4.\left(\sqrt{5}-1\right).\left(\sqrt{5}+1\right)=4.4=16\)