TH 1: \(x^2+y^2< 1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}|x|< 1\\|y|< 1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow S=x+2y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+y< 1+\sqrt{2}\left(1\right)\)

TH 2: \(x^2+y^2>1\)

\(\Rightarrow x^2-x+y^2-y\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-2y\right)^2-\left(S-2y\right)+y^2-y\le0\)

\(\Leftrightarrow5y^2+\left(1-4S\right)y+S^2-S\le0\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(1-4S\right)^2-4.5.\left(S^2-S\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow S\le\frac{5+\sqrt{10}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra được GTLN của S

PS: S là đặt cho nó gọn nhé

theo bài ra ta có: \(x^2+y^2+z^2=xyz\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=1.\)(vì x.y.z>o)

                                                            \(\Rightarrow\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=1\)

mặt khác ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (với a>0;b>0)

            \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)   (*)

Áp dụng bài toán (*) ta có: \(\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{yz}\right)\) \(\Rightarrow\frac{x}{x^2+yz}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x^2}+\frac{x}{yz}\right)\)

tương tự ta đc: \(\frac{y}{y^2+xz}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y^2}+\frac{y}{xz}\right)\) ; \(\frac{z}{z^2+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z^2}+\frac{z}{xy}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1\right)\)  (vì \(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=1\))

mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=1\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của A là 1/2 khi x=y=z

Tôi cũng có bài khó giống ý hệt bạn,vậy bạn có hướng làm chưa

Lúc nào em lên lớp 9 em giải cho

Ta có p^2-p=q^2-3q+2 <=> p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)

Từ (*) suy ra p|(q-1)(q-2). Do p là snt nên p|(q-1) hoặc p|(q-2)
+) Xét p|(q-1). Đặt q=kp+1 (k E N*) thay vào (*):

kp(kp-1)=p(p-1) <=>k(kp-1)=p-1 <=> pk^2 -k-p+1=0.<=>(p-1)[p(k+1)-1]=0

=>k=1 (Do p(k+1)-1>0).

Lúc này q=p+1>=3. Do vậy p=2. q=3 (Do p;q nguyên tố) suy ra p^2+q^2=13 là snt
Xét p|(q-2) đặt q=tp+2 (t E N*) . Thay vào (*) biến đổi tương tự ta được . (t+1)[p(k-1)+1]=0 (vô lý nên loại)

Vậy đpcm

p² - q² = p - 3q + 2 

4p² - 4q² = 4p - 12q + 8

4p² - 4p + 1 = 4q² - 12q + 9

(2p - 1)² = (2q - 3)²

Mà 2p - 1 >0(p nguyên tố);2q - 3 >0(q nguyên tố)

Do đó 2p - 1 = 2q - 3 <=> p + 1 = q

Ta có q > 3 (vì p > 2) nên q lẻ, do đó p chẵn

=> p = 2. Nên q = p + 1 = 3

Vậy p² + q² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13 là số nguyên tố