(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)

\(=\left(a^2b^2+2a^2+2b^2+4\right)\left(c^2+2\right).\)

\(=a^2b^2c^2+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+4a^2+4b^2+4c^2\)

\(=a^2b^2c^2+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+4=a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

A B O C E F D I H K M J

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AE = EC; BF = FC

Vậy nên AE + BF = EC + CF = EF

b) Xét tam giác vuông BAD có AC là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:

\(DA^2=DC.DB\)

c)  Ta thấy rằng \(\Delta DCA\sim\Delta DAB\Rightarrow\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{AB}\)

Lại có AB = 2OB; AC = 2AH.

Vậy nên \(\frac{DA}{DB}=\frac{2.AH}{2.OB}=\frac{AH}{OB}\)

Ta cũng có \(\widehat{DAH}=\widehat{DBO}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{BCA}\) )

Nên \(\Delta DAH\sim\Delta DBO\Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DOB}\)

Mà \(\widehat{DHA}=\widehat{IHK}\) nên \(\widehat{DOB}=\widehat{IHK}\)

Xét tứ giác HIOK có \(\widehat{DOB}=\widehat{IHK}\) nên HIOK là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{HIK}=\widehat{HOK}\)

\(\widehat{HIK}+\widehat{HAK}=\widehat{HOK}+\widehat{HAK}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AKI}=90^o\Rightarrow IK\perp AB\)

d) Từ A kẻ AJ song song với BD cắt BF tại J.

Khi đó ta thấy ngay ADBJ là hình bình hành. Vậy thì DJ giao với AB tại trung điểm mỗi đường hay O là trung điểm của AB và DJ.

Vậy ta có D, O , J  thẳng hàng.

Xét tam giác AFJ có \(AB\perp FJ\)

\(FO\perp BC\) mà BC // AJ nên \(FO\perp AJ\)

Vậy thì O là trực tâm tam giác AFJ hay \(JO\perp AF\)  (1)

Xét tam giác AIO có \(IK\perp AO;OH\perp AI\Rightarrow\) M là trực tâm tam giác.

Vậy thì \(AM\perp IO\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M , F thẳng hàng.

a, ta có \(\widehat{CED}=90+\frac{\widehat{A}}{2}\)

MÀ \(\widehat{COB}=180-\left(\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}\right)=90+\frac{\widehat{A}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{CE0}=\widehat{COB}\) LẠI CÓ \(\widehat{ECO}=\widehat{OCB}\) \(\Rightarrow\Delta EOC\simeq\Delta OBC\left(G-G\right)\)

TT \(\Delta ODB\simeq\Delta COB\)

\(\Rightarrow\Delta DOB\simeq\Delta ECO\)

B,

DO \(\Delta DOB\simeq\Delta ECO\Rightarrow\frac{DO}{EC}=\frac{BD}{EO}\Rightarrow EC.BD=DO.EO=DO^2\) =\(AD^2-AO^2=AD.AE-AO^2\)

 =\(\left(AB-DB\right)\left(AC-CE\right)-AO^2\) =\(AB.AC-BD.AC-AB.CE+BD.CE-AO^2\)

\(\Rightarrow DO^2=bc-BD.b-CE.c+DO^2-AO^2\)\(\Rightarrow bc=c.CE+BD.b+OA^2\)

                                                                      \(\Rightarrow\frac{CE}{b}+\frac{BD}{c}+\frac{OA^2}{bc}=1\)