\(P^2=\left(1.x+1.\sqrt{1-2x-x^2}\right)^2\)

Áp dụng bđt bunhiakovsky ta có:

\(P^2=\left(1.x+1.\sqrt{1-2x-x^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+\left(\sqrt{1-2x-x^2}\right)^2\right)\)

\(\Leftrightarrow P^2\le2\left(x^2+1-2x-x^2\right)=-4x+2\)

\(P=x+\sqrt{1-2x-x^2}=x+\sqrt{-x^2-2x+1}.\)

\(=x+\sqrt{-\left(x^2+2x+1\right)+2}=x+\sqrt{-\left(x+1\right)^2+2}\)

đang vội nên mk làm tắt nha . đk x>=-5/4

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)\)\(.\left[\left(x+2\right)-\sqrt{4x+5}\right]+2 \left(x+5\right)\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+3}-2\right)+\)\(2x^2+6x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2\left(x+5\right)\left(x-1\right)\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}+2}+2\left(x-1\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\frac{2\left(x+1\right)^2}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2\left(x+5\right)\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}+2}+2\left(x+4\right)\right]=0\)

de thấy bt trong ngoặc dương suy ra x=1 là no

2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này

ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)

cách 2

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

\(\Rightarrowđpcm\)

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên OE=OC=OB (1)

 Xét tam giác BCD vuông tại D có Do là đường trung tuyến nên OD=OC=OB (2)

Từ (1) và (2) Vậy OB=OD=OE=OC hay B, D, E ,C cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

a) ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

a) vì \(AC\)VÀ \(CM\)LÀ 2 TIẾP TUYẾN CẮT NHAU TẠI \(C\)CỦA ĐƯỜNG TRÒN \(\left(O\right)\)NÊN TA CÓ

  -   \(CO\)LÀ TIA PHÂN GIÁC \(\widehat{ACM}\)               ( TÍCH CHẤT 

  -  \(OC\)LÀ TIA PHÂN GIÁC \(\widehat{AOM}\)             2 TIẾP TUYẾN 

  -  \(AC=CM\)                                                           CẮT NHAU )

\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{MOC}\)

C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ  \(\widehat{MOD}=\widehat{BOD}\)

+ TA CÓ: \(\widehat{AOC}+\widehat{MOC}+\widehat{MOD}+\widehat{BOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2.\left(\widehat{COM}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{MOD}=90^0\)

HAY \(\widehat{COD}=90^0\)

VẬY \(\widehat{COD}=90^0\)

B) XÉT \(\Delta AOM\)CÓ : \(AO=OM\)( BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN TÂM O )

\(\Rightarrow\Delta AOM\)LÀ \(\Delta\)CÂN TẠI O

MÀ \(\widehat{AOI}=\widehat{MOI}\)( TÍNH CHẤT 2 TIẾP TUYẾN CẮT NHAU )

\(\Rightarrow OI\)LÀ TIA PHÂN GIÁC ĐỒNG THỜI LÀ ĐƯỜNG CAO TRONG \(\Delta\) CÂN \(AOM\)

\(\Rightarrow OI\perp AM\)TẠI  \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{MIO}=90^0\)

C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ: \(MK\perp OK\)

\(\Rightarrow\widehat{OKM}=90^0\)

THEO CÂU A) TA CÓ: \(\widehat{COD}=90^0\)

XÉT TỨ GIÁC \(OIMK\) CÓ 3 GÓC VUÔNG \(\Rightarrow\)TỨ GIÁC \(OIMK\)LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

VẬY T/G \(OIMK\)LÀ HCN

C) TA CÓ: \(AC=CM\)( TÍNH CHẤT 2 TIẾP TUYẾN ....)

TƯƠNG TỰ \(MD=BD\)

KHI ĐÓ: \(AC.BD\) 

\(=CM.MD\)

+ \(OM\perp CM\)( \(CM\)LÀ TIẾP TUYẾN TẠI M )

ÁP DỤNG HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO VÀO \(\Delta COD\)VUÔGN TẠI \(O\), ĐƯỜNG CAO \(OM\)TA CÓ 

\(CM.MD=MO^2\)

\(\Rightarrow CM.MD=R^2\)  ( VÌ \(MO\)LÀ BÁN KÍNH)

HAY \(AC.BD=R^2\)  MÀ \(R\)KHÔNG ĐỔI

\(\Rightarrow AC.BD\)KO ĐỔI KHI \(C\)DI CHUYỂN TRÊN \(Ax\)

D) VẼ \(I\)LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA \(CD\), NỐI \(O\)VỚI \(I\)

\(AC\perp AB\) ( AC LÀ TIẾP TUYẾN TẠI A )

\(BD\perp AB\)( BD LÀ TIẾP TUYẾN TẠI B)

\(\Rightarrow AC\)SONG SONG \(BD\)( CÙNG VUÔNG GOC VỚI AB  )

\(\Rightarrow\)T/G \(ACDB\)LÀ HÌNH THANG

XÉT HÌNH THANG \(ACDB\)

CÓ \(CI=DI\)

\(AO=OB\)

\(\Rightarrow OI\)SONG SONG \(AC\)

MÀ \(AC\perp AB\)

\(\Rightarrow OI\perp AB\)  ( 1 ) 

+ \(MC=MD=\frac{1}{2}CD\)

XÉT \(\Delta\)VUÔNG \(COD\)CÓ   \(OI\)LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN \(CD\)

VÀ \(OI=\frac{1}{2}CD\)

\(\Rightarrow OM=MC=MD\)

\(\Rightarrow M\)CÁCH ĐỀU 3 ĐIỂM \(O,C,D\)

\(\Rightarrow M\in\left(I;\frac{CD}{2}\right)\)  ( 2 ) 

TỪ ( 1 ) VÀ ( 2 ) TA CÓ: \(AB\)LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG KÍNH CD