\(H=\frac{8a+5b}{5a-1}+\frac{3a+b}{4b+1}\)

\(=\frac{5a+\left(3a+5b\right)}{5a-1}+\frac{3a+b}{4b-\left(3a+5b\right)}\)

\(=\frac{5a-1}{5a-1}+\frac{3a+b}{-3a-b}=1+\left(-1\right)=0\)

MN là đường trung bình của tam giác AOB

\(\Rightarrow MN\)//AB

AM=NB=\(\frac{1}{2}OA\)=\(\frac{1}{2}OB\)

\(\Rightarrow AMNB\)là hình thang cân

MN//AB\(\Rightarrow MN\)//OB      (1)                          

MN=\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DP\)        (2)

từ (1),(2) suy raMNPD là hình bình hành

Xét tap giác DMB

MO vừa là đường tuy tuyến vừa là đường cao

suy ra  DMB là tam giác cân

suy ra MBD=MDB   (1)

tam giác OAN=tam giác OBM(tự chứng minh)

suy ra MBO=OAN(2)

từ 1 và 2 suy ra

OAN=MDB

mà DNP=MDB(SLT)

su ra DNP=OAN

xét tam giác OAN

OAN+ONA=90 độ

suy ra DNP + ONA=90 độ

suy ra NP vuông góc AN

mà DM//NP

suy ra DM vuông góc AN

\(x^2+3y^2=4xy\Leftrightarrow x^2-xy+3y^2-3xy=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)-3y\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-3y\right)=0\)

Do x>y>0 => x-y>0 => \(x-3y=0\Leftrightarrow x=3y\) Thay vào A

\(\Rightarrow A=\frac{2.3y+5y}{3y-2y}=\frac{11y}{y}=11\)

Đề này bị thiếu rồi. Phải có thêm điều kiện tam giác ABC vuông hoặc cân nữa mới làm được câu c.

\(x^{20}+x+1=\left(x^{20}-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^2\left(x^{18}-1\right)+x^2+x+1\)

\(=x^2\left(x^6-1\right)\left(x^{12}+x^6+1\right)+x^2+x+1\)

\(=\left(x^{14}+x^8+x^2\right)\left(x^6-1\right)+x^2+x+1\)

\(=\left(x^{14}+x^8+x^2\right)\left(x^3+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+x^2+x+1\)

\(=\left(x^{18}-x^{17}+x^{15}-x^{14}+x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^5+x^3-x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Điểm M là đường trung tuyến của tam giác ABC sao?