Ta có :

\(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}=\frac{2017^2-1-2016^2+1}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}=\frac{2017+2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

\(>\frac{2016+2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}=\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

Vậy \(\sqrt{2017^2-1}-\sqrt{2016^2-1}>\frac{2.2016}{\sqrt{2017^2-1}+\sqrt{2016^2-1}}\)

a=b=c=2 thay vào ra min cái này là tay tui tự gõ ra a=b=c=2 chả có bước nào. còn chi tiết sau nhớ nhắc tui làm :D

Áp dụng BĐT Mincopxki và AM-GM có:

\(T=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{16}+\frac{15\left(a+b+c\right)^2}{16}}\)

\(=\sqrt{2\sqrt{\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{16}}+\frac{15\cdot6^2}{16}}\)

\(=\sqrt{2\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{15\cdot6^2}{16}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Khi \(a=b=c=2\)

Hình tự vẽ nha

vì \(EA\)và \(EM\)là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại \(E\)nên ta có:

- \(OE\)là tia phân giác góc \(\widehat{AOM}\)

\(\Rightarrow\widehat{AOE}=\widehat{MOE}\)   ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

chứng minh tương tự ta có:

\(\widehat{MOF}=\widehat{BOF}\)

ta có:  \(\widehat{AOE}+\widehat{MOE}+\widehat{MOF}+\widehat{BOF}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\widehat{MOE}+2\widehat{MOF}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{MOE}+\widehat{MOF}\right)=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MOE}+\widehat{MOF}=90^0\)

hay \(\widehat{EOF}=90^0\)

\(\Rightarrow OE\perp OF\)( điều phải chứng minh)

vậy \(OE\perp OF\)

\(A=\frac{x+y+\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}\)

\(A=\frac{x}{\sqrt{xy}}+\frac{y}{\sqrt{xy}}+1\)

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}+1\)

\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}+1\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}}+1=3\)

\(< =>A\ge3< =>A>1\)

một số lớn hơn 1 thì căn của nó sẽ bé hơn số đó 

\(A>\sqrt{A}\)

vì n là số lẻ nên ta đặt n = 2a+1 (với a E N)

n³-n = (2a+1)³-(2a+1) = 8a³+12a²+ 6a+1-2a-1 = 8a³+12a²+4a = 2a (4a²+6a +2) = 4a(a+1)(2a+1) = 2a.(2a+1).(2a+2)

Vì n³-n = 4a(a+1)(2a+1) chia hết cho 4.   

 +) Nếu a chẵn thì a chia hết cho 2 => n³-n = 4a(a+1)(2a+1)  chia hết cho 2.4 =  8

+) Nếu a lẻ thì a+1 chẵn chia hết cho 2 => n³-n = 4a(a+1)(2a+1)  chia hết cho 2.4 =  8

Vậy n³-n = 4a(a+1)(2a+1) chia hết cho 8   

mặt khác n³-n  = 2a.(2a+1).(2a+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Vậy n³-n  chia hết cho 3.8 = 24 (vì 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau )

Lưu ý: nếu A chia hết cho 2, chia hết cho 4 , chia hết cho 3 mà kết luận A chia hết cho 2.3.4 = 24 là sai vì 2, 4 không phải là 2 số nguyên tố cùng nhau. ví dụ 12 chia hết cho 2; 3; 4 nhưng không chia hết cho 24 nhé)

n³ - n = n ( n - 1 ) ( n + 1 )

n ( n - 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 

Vì n lẻ => n - 1 ; n + 1 là tích số chẵn chia hết cho 4

=> n ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 4

3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 

=> n ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 3 

=> n ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 2 . 3 . 4 = 24 

=> n³ - n chia hết cho 24 ( đpcm ) .

hu hu.. ! lần này mình tự làm nếu còn giống của bạn nào thì đừng bảo mình coppy nhé ! cai nay tu minh biet nen minh tu lam day !

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là (a - 1), a, (a + 1) 
chứng minh: (a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3 chia hết cho 9 
=>(a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3=a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a +1 = 3a^3 + 6a 
= >3a(a^2 + 2) = 3a(a^2 - 1) + 9a 
= >3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
ta da biet tíck của 3 sô tự nhiên liên tiếp chia hhết cho 3 nên 3(a - 1)a(a + 1) chia hết cho 9 
Mặt khác 9a chia hết cho 9 nên 
=>3(a - 1)a(a + 1) + 9a 
hay ta dc điều phải chứng minh