Gọi d là UCLN (10n+1,15n+2)

\(\Leftrightarrow10n+1⋮d;15n+2⋮d\)

\(\Leftrightarrow3\left(10n+1\right)⋮d;2\left(15n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow30n+3⋮d;30n+4⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{10n+1}{15n+2}\) là phân số tối giản

\(\RightarrowĐFCM\)

Với n nguyên : 

( 10n + 1 ; 15 n + 2 ) = ( 10n + 1; ( 15n +  2 ) - ( 10 n + 1) ) = ( 10n + 1; 5n + 1 ) = ( 5n + 1 ; 5n ) = ( 5n ; 1 ) = 1 

=> 10n + 1 và 15n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau với n nguyên 

=> 10n + 1/ 15n + 2 là phân số tối giản. 

a) Gọi I là điểm chính giữa cung AB => IA = IB 

Trên tia đối tia IB và tia MB lấy điểm Q  và N sao cho: QI = IB và NM = MA 

Ta có: \(\Delta\)AMN vuông cân tại M

=> ^ANB = ^ANM = 45 độ  (1) 

\(\Delta\)ABQ  có AI = IB = IQ

=> \(\Delta\)ABQ vuông cân tại A 

=> ^AQB = 45 độ  (2) 

Từ (1); (2) => ^AQB = ^ANB 

=> ANQB nội tiếp

=> ^QNB = ^QAB = 90 độ 

=> \(\Delta\)BNQ vuông cân tại N 

=> \(MA+MB=MN+MB=NB\le BQ=IB+IQ=IB+IA\)không đổi

=> \(\frac{1}{MA}+\frac{1}{MB}\ge\frac{4}{MA+MB}\ge\frac{4}{IA+IB}\)

Dấu "=" xảy ra <=> MA = MB; MA + MB = IA + IB mà IA = IB => M trùng I hay M nằm giữa cung AB

Gọi chiều dài ban đầu của khu vườn là x ( cm , x > 17 )

=> Chiều rộng ban đầu của khu vườn là x - 17 cm

Giảm chiều dài 8cm và tăng chiều rộng 11cm

=> Chiều dài mới = x - 8 và chiều rộng mới = x - 17 + 11 = x - 6 cm

Diện tích ban đầu = x( x - 17 )cm²

Diện tích mới = ( x - 8)( x - 6 )cm²

Diện tích khu vườn tăng thêm 369cm²

=> Ta có phương trình : ( x - 8)( x - 6 ) - x( x - 17 ) = 369

                             <=> x² - 14x + 48 - x² + 17x = 369

                             <=> 3x + 48 = 369

                             <=> 3x = 321

                             <=> x = 107 ( tmđk )

=> Chiều dài ban đầu của khu vườn = 107cm

Chiều rộng ban đầu = 107 - 17 = 90cm

Diện tích ban đầu : 107 . 90 = 9630cm²

Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)

Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)

=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)

=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm 

=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm 

=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm 

Trình bày khác cô Chi chút ạ =))

Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)

\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm

1.

= 8,512 x 998 + 8,512 x 2

= 8,512 x ( 998 + 2 ) 

= 8,512 x 1000 

= 8512

2. Mình sẽ phân tích 280 thành tích của các số có 1 chữ số mà số lượng số ít nhất có thể

280 = 28 x 10 = 7 x 4 x 5 x 2 = 8 x 7 x 5 

=> số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 578

bài 2 là 208

Góc AM?? Mình tính luôn ^AMB và ^AMC nhé !

Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)(theo định lý tổng 3 góc trong của 1 tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+30^o+15^o=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=135^o\)

Vì AM là đường trung tuyến của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{135^o}{2}=67,5^o\)

Xét \(\Delta AMB\)có : \(\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{AMB}=180^o\)(đ/lý tổng 3 góc trong của 1 tam giác)

\(\Rightarrow67,5^o+30^o+\widehat{AMB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=82,5^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=180^o-\widehat{AMB}=180^o-82,5^o=97,5^o\)(Vì \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\))

A B C M N

Trên mặt phẳng bờ BC chưa A  lấy điểm N  sao cho \(\Delta\)NCM đều 

=> ^CMN = 60 độ 

=> ^NMB = 120 độ 

Mà NM = MC = BM 

=> \(\Delta\)NMB cân tại tại B => ^NBM = 30 độ=> ^CBN = 30 độ mà ^CBA = 30 độ 

=> M; A; N thẳng hàng 

Xét \(\Delta\)CBN có: ^NCB = 60 độ ; ^CBN = 30 độ 

=> ^CNB = 90 độ 

=> ^CNA = 90 độ 

mà ^ACN = ^MCN - ^MCA = 45 độ 

=> \(\Delta\)NCA vuông cân tại N 

=> NC = NA  mà NC = NM 

=> NA = NM => \(\Delta\)NAM cân tại N  có: ^MNA = 30 độ => ^NMA = ^NAM = ( 180 - 30 ) : 2 = 75 độ 

=> ^CAM = ^NAM - ^NAC = 75 - 45 = 30 độ 

=> ^NAB = 180 - 30  - 15 - 30 =  105 độ 

\(\frac{3}{4}\)\(-2.2x-\frac{2}{3}\)\(=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\)\(-2.2x-\frac{2}{3}\)\(=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\)\(-2.2x=\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow2.2x=\frac{-23}{12}\)

\(\Leftrightarrow2.2x=\frac{-23}{24}\)

\(\Rightarrow x=\frac{-23}{48}\)

@NOOB : Cái này có GTTĐ mà =V

 \(\left|2x-\frac{2}{3}\right|=2x-\frac{2}{3}\)khi \(2x-\frac{2}{3}\ge0\)hay \(x\ge\frac{1}{3}\)

\(\left|2x-\frac{2}{3}\right|=-\left(2x-\frac{2}{3}\right)=-2x+\frac{2}{3}\) khi \(2x-\frac{2}{3}< 0\)hay \(x< \frac{1}{3}\)

Quy về giải hai biểu thức :

* \(\frac{3}{4}-2\left(2x-\frac{2}{3}\right)=2\)với đk \(x\ge\frac{1}{3}\)

<=> \(2\left(2x-\frac{2}{3}\right)=-\frac{5}{4}\)

<=> \(2x-\frac{2}{3}=-\frac{5}{8}\)

<=> \(2x=\frac{1}{24}\Leftrightarrow x=\frac{1}{48}\)( không tmđk vì 1/48 < 1/3 )

* \(\frac{3}{4}-2\cdot\left(-2x+\frac{2}{3}\right)=2\)với đk \(x< \frac{1}{3}\)

<=> \(2\left(-2x+\frac{2}{3}\right)=-\frac{5}{4}\)

<=> \(-2x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{8}\)

<=> \(-2x=-\frac{31}{24}\)

<=> \(x=\frac{31}{48}\)( không tmđk do 31/48 > 1/3 )

=> Không có giá trị của x thỏa mãn đề bài