a, \(A=\frac{n+7}{n+2}=\frac{n+2+5}{n+2}=\frac{5}{n+2}\)

\(\Rightarrow n+2\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Ta lập bảng 

b, \(B=\frac{n+5}{n-2}=\frac{n-2+7}{n-2}=\frac{7}{n-2}\)

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Ta lập bảng 

c, \(C=\frac{2n+13}{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+11}{n+1}=\frac{11}{n+1}\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(11\right)=\left\{\pm1;\pm11\right\}\)

Ta lập bảng

d) Để D là số nguyên <=> \(\frac{3n+7}{2n+3}\)là số nguyên

<=> \(3n+7⋮2n+3\)

<=> 2(3n + 7) \(⋮\) 2n + 3

<=> 6n + 14 \(⋮\)2n + 3

<=> 3(2n + 3) + 5 \(⋮\)2n + 3

<=> 5 \(⋮\)2n + 3 (vì 3(2n + 3) \(⋮\)2n + 3)

<=> 2n + 3 \(\in\)Ư(5) = {1; -1; 5; -5}

Lập bảng:

Vậy ....

Chứng minh\(\frac{10n+1}{15n+2}\)là phân số tối giản 

Gọi d = ƯCLN(10n + 1 ; 15n + 2 )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+1⋮d\\15n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+1\right)⋮d\\2\left(15n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}30n+3⋮d\\30n+4⋮d\end{cases}}}\)

=> ( 30n + 4 ) - ( 30n + 3 ) chia hết cho d

=> 30n + 4 - 30n - 3 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d 

=> d = 1

=> ƯCLN(10n + 1 ; 15n + 2) = 1

=> \(\frac{10n+1}{15n+2}\)là phân số tối giản ( đpcm )

Gọi d là UCLN (10n+1,15n+2)

\(\Leftrightarrow10n+1⋮d;15n+2⋮d\)

\(\Leftrightarrow3\left(10n+1\right)⋮d;2\left(15n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow30n+3⋮d;30n+4⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{10n+1}{15n+2}\) là phân số tối giản

\(\RightarrowĐFCM\)

Với n nguyên : 

( 10n + 1 ; 15 n + 2 ) = ( 10n + 1; ( 15n +  2 ) - ( 10 n + 1) ) = ( 10n + 1; 5n + 1 ) = ( 5n + 1 ; 5n ) = ( 5n ; 1 ) = 1 

=> 10n + 1 và 15n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau với n nguyên 

=> 10n + 1/ 15n + 2 là phân số tối giản. 

a) Gọi I là điểm chính giữa cung AB => IA = IB 

Trên tia đối tia IB và tia MB lấy điểm Q  và N sao cho: QI = IB và NM = MA 

Ta có: \(\Delta\)AMN vuông cân tại M

=> ^ANB = ^ANM = 45 độ  (1) 

\(\Delta\)ABQ  có AI = IB = IQ

=> \(\Delta\)ABQ vuông cân tại A 

=> ^AQB = 45 độ  (2) 

Từ (1); (2) => ^AQB = ^ANB 

=> ANQB nội tiếp

=> ^QNB = ^QAB = 90 độ 

=> \(\Delta\)BNQ vuông cân tại N 

=> \(MA+MB=MN+MB=NB\le BQ=IB+IQ=IB+IA\)không đổi

=> \(\frac{1}{MA}+\frac{1}{MB}\ge\frac{4}{MA+MB}\ge\frac{4}{IA+IB}\)

Dấu "=" xảy ra <=> MA = MB; MA + MB = IA + IB mà IA = IB => M trùng I hay M nằm giữa cung AB

Gọi chiều dài ban đầu của khu vườn là x ( cm , x > 17 )

=> Chiều rộng ban đầu của khu vườn là x - 17 cm

Giảm chiều dài 8cm và tăng chiều rộng 11cm

=> Chiều dài mới = x - 8 và chiều rộng mới = x - 17 + 11 = x - 6 cm

Diện tích ban đầu = x( x - 17 )cm²

Diện tích mới = ( x - 8)( x - 6 )cm²

Diện tích khu vườn tăng thêm 369cm²

=> Ta có phương trình : ( x - 8)( x - 6 ) - x( x - 17 ) = 369

                             <=> x² - 14x + 48 - x² + 17x = 369

                             <=> 3x + 48 = 369

                             <=> 3x = 321

                             <=> x = 107 ( tmđk )

=> Chiều dài ban đầu của khu vườn = 107cm

Chiều rộng ban đầu = 107 - 17 = 90cm

Diện tích ban đầu : 107 . 90 = 9630cm²

Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)

Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)

=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)

=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm 

=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm 

=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm 

Trình bày khác cô Chi chút ạ =))

Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)

\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm

1.

= 8,512 x 998 + 8,512 x 2

= 8,512 x ( 998 + 2 ) 

= 8,512 x 1000 

= 8512

2. Mình sẽ phân tích 280 thành tích của các số có 1 chữ số mà số lượng số ít nhất có thể

280 = 28 x 10 = 7 x 4 x 5 x 2 = 8 x 7 x 5 

=> số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 578

bài 2 là 208

Góc AM?? Mình tính luôn ^AMB và ^AMC nhé !

Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)(theo định lý tổng 3 góc trong của 1 tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}+30^o+15^o=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=135^o\)

Vì AM là đường trung tuyến của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{135^o}{2}=67,5^o\)

Xét \(\Delta AMB\)có : \(\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{AMB}=180^o\)(đ/lý tổng 3 góc trong của 1 tam giác)

\(\Rightarrow67,5^o+30^o+\widehat{AMB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=82,5^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=180^o-\widehat{AMB}=180^o-82,5^o=97,5^o\)(Vì \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\))

A B C M N

Trên mặt phẳng bờ BC chưa A  lấy điểm N  sao cho \(\Delta\)NCM đều 

=> ^CMN = 60 độ 

=> ^NMB = 120 độ 

Mà NM = MC = BM 

=> \(\Delta\)NMB cân tại tại B => ^NBM = 30 độ=> ^CBN = 30 độ mà ^CBA = 30 độ 

=> M; A; N thẳng hàng 

Xét \(\Delta\)CBN có: ^NCB = 60 độ ; ^CBN = 30 độ 

=> ^CNB = 90 độ 

=> ^CNA = 90 độ 

mà ^ACN = ^MCN - ^MCA = 45 độ 

=> \(\Delta\)NCA vuông cân tại N 

=> NC = NA  mà NC = NM 

=> NA = NM => \(\Delta\)NAM cân tại N  có: ^MNA = 30 độ => ^NMA = ^NAM = ( 180 - 30 ) : 2 = 75 độ 

=> ^CAM = ^NAM - ^NAC = 75 - 45 = 30 độ 

=> ^NAB = 180 - 30  - 15 - 30 =  105 độ