Ta có 
2^2013 
= 2^2012 . 2 
= 2^(4.503) . 2 
= (2^4)^503 . 2 
= 16^503 . 2 
vì 16^503 có chữ số tận cùng là 6 
nên 16^503 . 2 có chữ số tận cùng là 2 
(vì 6.2=12 có chữ số tận cùng là 2) 

Suy ra 2^2013 có chữ số tận cùng là 2

Lời giải:

$2^3\equiv -1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=2^{6n}.4\equiv 4\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=9k+4$ với $k$ tự nhiên.

Vì $2^{6n+2}$ chẵn nên $9k$ chẵn $\Rightarrow k$ chẵn.

Khi đó:
\(2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\)

$2^9\equiv -1\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{9k}\equiv (-1)^k\equiv 1\pmod {19}$ (do $k$ chẵn)

$\Rightarrow 2^{9k+4}\equiv 16\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\equiv 16+3\equiv 19\equiv 0\pmod {19}$

Vậy $2^{2^{6n+2}}+3\vdots 19$

Nếu n=0 thì 2^2^4n + 1 +7 =11 chia hết cho 11

Nếu n > 0 thì 2^2^4n + 1 =2^2^4n × 2^2^4n.   (1)

Có:

2^4n=.......6=......5+1=5x +1 

Vì ....5 lẻ ;5 lẻ suy ra 5 lẻ nên 2^2^4n =2^5x+1

2^5 đồng dư vs -1 ( mod 11) suy ra (2^5)^x đồng dư với -1( mod 11) ( vì x lẻ)

Suy ra (2^5)^x +1 chia hết cho 11

=) 2× [(2^5)^x +1] chia hết cho 11 (=) 2^5x+1 +2 chia hết cho 11

hay 2^2^4n +2 chia hết cho 11

Lại có 2^2^4n đồng dư với -2 ( mod 11)

Từ (1);(2) suy ra : 2^2^4n × 2^2^4n đồng dư vs 4 (mod 11)

Suy ra 2^2^4n+1 đồng dư vs 4 ( mod 11)

Vậy 2^2^4n+1+7 chia hết cho 11

theo đề bài suy ra 1287-a  chia hết cho a và a+231 chia hết cho a mà a chia hết cho a nên 1287 chia hết cho a => a thuộc Ư(1287) và 231 chia hết cho a => a thuộc Ư(231)

do đó a thuộc ƯC(1287,231). mà a là số tự nhiên lớn nhất => a thuộc ƯCLN(1287;231)

1287=3^2 x 11x13 và 231= 3x7x11 => ƯCLN(1287;231)=3x11=33 => a=33

1287 - a và a + 231 đều là bội của a  => (1287 - a)   ⋮a và  (a + 231) ⋮a  => 1287 ⋮ a và 231 ⋮ a

Mà a là số tự nhiên lớn nhất nên: a = UCLN(1287  , 231).

Ta có: 1287 = 3² . 11 . 13 ; 231 = 3 . 7 . 11

=> a = 3 . 11 = 33

( - 98 ) - ( 1 - 246 ) - 246 + 98

= 98 - 98 - 1 + 246 - 246

= - 1