Gọi d là Ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 6n + 5

=> ( 6n + 5 ) - ( 2n + 1 ) chia hết cho d

=> ( 6n + 5 ) - 3( 2n + 1 ) chia hết cho d

=> ( 6n + 5 ) - ( 6n + 3 ) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Vậy ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 6n + 5 là 2 .

Gọi a là ƯCLN(2n+1, 6n+5)

ta có: 2n+1 chia hết cho a và 6n+5 chia hết cho a

        3.(2n+1) chia hết cho a và (6n + 5) chia hết cho a

         6n+3 chia hết cho a và 6n+5 chia hết cho a

       [(6n+5) - (6n+3)] chia hết cho a

       [6n+5 - 6n -3] chia hết cho a

        2 chia hết cho a suy ra a  = 2 hoặc  1

Vậy 6n+5 và 2n+1 là hai số nguyên tố chung

\(2^{150}=\left(2^3\right)^{50}=8^{50}\)

\(3^{100}=\left(3^2\right)^{50}=9^{50}\)

\(9^{50}>8^{50}=>3^{100}>2^{150}\)

So sánh 2¹⁵⁰ và 3¹⁰⁰

2^150=(2^3^)50=8^50

3 100=(32)50=9^50

9^50>8^50=>3^100>2^150

\(=5^{2001}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=5^{2001}.31\)

=> 5²⁰⁰³+5²⁰⁰²+5^{2001 chia hết cho 31}

Gọi số h/s của trường là a ( 0< a < 1200) a thuộc N

ta có a- 15 chia hết cho 20;25;30

=. a = 15 thuộc BCNN( 20;25;30) = 2².3.5² = 300

=> BC( 20;25;30) = BC(300) = {0;300;600;900;1200;...}

= a thuộc { 15;;315;615;915;1215;...}

mà a<1000; a chia hết cho 41 nên a = 615

Gọi số h/s của trường là a ( 0< a < 1200) a thuộc N ta có a- 15 chia hết cho 20;25;30 =.

a = 15 thuộc BCNN( 20;25;30) = 22 .3.52 = 300 => BC( 20;25;30) = BC(300) = {0;300;600;900;1200;...} = a thuộc { 15;;315;615;915;1215;...} mà a<1000;

a chia hết cho 41 nên a = 615 

 Vì số nam và số nữ đươc chia đều vào các tổ nên số tổ là UCLN(48,72) 
48 =2^4 x 3 
72=2^3 x3^2 
UCLN(48,72) =2^3 X 3=24 
Vậy có thể chia nhiều nhất là 24 tổ 
Số nam mỗi tổ là 48:24 = 2 (nam) 
Số nữ mỗi tổ là 72:24=3 (nữ)

a

M=(7+7^2)+(7^3+7^4)+...+(7^59+7^60)

  =7.(7+1)+7^3.(7+1)+...+7^59+(7+1)  

  =7.8+7^3.8+...+7^59+8

=>M chia hết cho8