Theo giả thiết: Vì số đo cung \(\stackrel\frown{AC}=40^o\)

\(\Rightarrow\) Góc ở tâm \(\widehat{AOC}=40^o\)

Trường hợp 1: C thuộc cung nhỏ \(\stackrel\frown{AB}\)

- Số đo góc ở tâm \(\widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}=110^o-40^o=70^o\)

Do vậy:

- Số đo cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}=70^o\)

- Số đo cung lớn \(\stackrel\frown{BC}=360^o-70^o=290^o\)

Trường hợp 2: C thuộc cung lớn \(\stackrel\frown{BC}\)

- Số đo góc ở tâm \(\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{AOC}=110^o+40^o=150^o\)

Do vậy:

- Số đo cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}=150^o\)

- Số đo cung lớn \(\stackrel\frown{BC}=360^o-150^o=210^o\)

A = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - .......- 58² + 59²

A =  1² + ( 3² - 2²) + ( 5² - 4²) + (7² - 6²) +....+ ( 59² - 58²)

A  =  1 +   ( 3-2)(2+3) + (5-4)(4+5) + (7-6)(6+7)+....+(59-58)(58+59)

A  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ....+ 58 + 59

A = ( 59 + 1).{ (59 - 1): 1 + 1 } : 2 

A = 1770

B =  \(\dfrac{2^{2016}-2^{2015}+2^{2014}-2^{2013}+2^{2012}-2^{2011}+2^{2010}-2^{2009}}{2^{2008}}\)

Đặt tử số là A 

ta có

  A =           2²⁰¹⁶ - 2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴ -  2²⁰¹³ + 2²⁰¹² - 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹⁰- 2²⁰⁰⁹

2 A= 2²⁰¹⁷- 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁵- 2²⁰¹⁴ +2²⁰¹³-2²⁰¹² + 2²⁰¹¹ - 2²⁰¹⁰ 

2A + A = 2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹

       3A = 2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹

         A = (2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹):3

B = A : 8 = (2²⁰¹⁷- 2²⁰⁰⁹) : 3 : 8

B = (2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹) : 24

A C H P I B M K O (hình minh họa)

Xét tứ giác AIHK:

\(\widehat{AIH}+\widehat{AKH}=90^o+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AIHK nội tiếp

Xét \(\Delta MIB\) và \(\Delta MCK\):

\(\widehat{IMC}\) chung

\(\widehat{MBI}=\widehat{MKC}\)

\(\Rightarrow\Delta MIB~\Delta MCK\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MB}=\dfrac{MC}{MK}\)

\(\Leftrightarrow MI.MK=MC.MB\)

\(\widehat{IMP}=\dfrac{1}{2}\widehat{IMB}\)

\(\widehat{IAP}=\dfrac{1}{2}\widehat{IAK}\)

\(\Rightarrow\widehat{APM}=180^o-\dfrac{1}{2}\left(\widehat{IMB}+\widehat{IAK}\right)=180^o-\dfrac{1}{2}.180^o=90^o\)

\(\Rightarrow AP\perp MP\).

a) Dễ thấy \(\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACDF nội tiếp đường tròn nhận AC làm đường kính \(\Rightarrow\) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDF chính là trung điểm của đoạn AC.

b) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác HBC với cát tuyến DFK, ta có \(\dfrac{KH}{KB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{FC}{FH}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{KH}{KB}=\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{FH}{FC}\) (1)

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác HBC với các đường đồng quy CE, DH, BF và \(D\in BC,E\in HB,F\in HC\), ta có \(\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{EB}{EH}.\dfrac{FH}{FC}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{EH}{EB}=\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{FH}{FC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{KH}{KB}=\dfrac{EH}{EB}\) \(\Rightarrow\) đpcm

 Nếu bạn chưa thấy câu trả lời thì vào trang cá nhân của mình xem nhé.