1 + 2 + 3 + ...... + n = aaa (gạch đầu) 

\(\frac{n\times\left(n+1\right)}{2}\) = 111 x a (1)

\(\frac{n\times\left(n+1\right)}{2}\) = 3 x 37 x a

n x (n + 1)    = 2 x 3 x 37 x a 

Vì 2 x 3 x 37 x a chia hết cho 37 nên n x (n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 

\(\Rightarrow\)n chai hết cho 37 hoặc n + 1 chia hết cho 37

Mà n và n + 1 đều nhỏ hơn 74 (vì \(\frac{n\times\left(n+1\right)}{2}\) là số có 3 chữ số) nên ta xét 2 trường hợp :

+) n = 37 thì \(\frac{n\times\left(n+1\right)}{2}\) = \(\frac{37\times38}{2}\) = 703 (loại)

+) n + 1 = 37 thì \(\frac{n\times\left(n+1\right)}{2}\) = \(\frac{36\times37}{2}\) = 666

Vậy a = 6

Thay vào (1) ta có :

\(\frac{n\times\left(n+1\right)}{2}\) = 666

n x (n + 1)  = 1332 = 36 x 37

Vậy n = 36

a=3

b=7

ta có : aaabbb=aaa.1000+bbb=a.111.1000+b.111                                                                            =(a.1000+b).111                                                                                                                           Mà 111chia hết cho 37                                                                                                                =>(a.1000+b).111chia hết cho 37                                                                                                  Vậy aaabbb luôn chia hết cho 37

Ta có:aaa=111.a=37.3.a

=>aaa luôn chia hết cho 37

A là số chẵn, A chia hết cho 5 và A có tạn cùng là 0

SỐ ĐÓ LÀ

A là số chẵn

A có chia hết cho 5

A có chứ số tận cùng là 0

=(999+1).999

        2

=294500

O B C A x y

Trên cùng 1 tia Oy có : OB < OC ( 3cm<7cm)

=> B nằm giữa O và C 

=> OB + BC = OC => BC = 4 cm

Vì điểm O thuộc đth xy => Ox, Oy đối nhau

Mà A thuộc tia Ox

      B thuộc tia Oy    => O nằm giữa A  và B

=> OA + OB =  AB => AB = 4 cm

Có : B nằm giữa O và C

        O nằm giữa A và B                => B nằm giữa A và C

=> AB + BC = AC => AC = 8 cm

b) Có : AC = 8 cm ; AB = 4 cm ; BC = 4cm => AB = BC = AC/2 

=> B là trung điểm của BC

c) M là trung điểm BC => BM = MC = BC/2 = 4 /2 = 2 ( cm)

Có : M là trung điểm BC => M nằm giữa B và C

       B nằm giữa O và C                                              => B nằm giữa O và M

=> OB + BM = OM => OM = 5 cm

Sau khi xóa hai chữ số ở hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới kém số phải tìm \(1917\)đơn vị nên số phải tìm là một số có bốn chữ số. 

Số phải tìm có dạng: \(\overline{ab36}\).

Ta có: 

\(\overline{ab36}-\overline{ab}=1917\)

\(\Leftrightarrow\overline{ab}.100+36-\overline{ab}=1917\)

\(\Leftrightarrow\overline{ab}.99=1881\)

\(\Leftrightarrow\overline{ab}=19\)

Vậy số phải tìm là \(1936\).