Áp dụng bđt Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

Áp dụng, thay vào A, ta có: 

\(A\le\text{Σ}\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "="⇔\(a=b=c=1\)

= chịu

A B x y t z O C D M E F

Ta có

\(\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{MC}{MD}=1\) => AC//OM//BD (Talet đảo)

=> ABDC là hình thang

Ta có OA=OB; MC=MD => OM là đường trung bình của hình thang ABDC

\(\Rightarrow OM=\dfrac{AC+BD}{2}\Rightarrow2.OM=AC+BD\)

a) Delta =  4m^2 - 4(2m -1) 
= 4m^2 -8m + 4
= (2m)^2 - 2.2m.2 + 2^2
= (2m-2)^2 
Delta luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) x1, x2 là nghiệm khi đó ta có x1+x2 = 2m, x1x2 =2m-1
A = x1^2 + x2^2 - 2x1x2
= (x1+x2)^2 - 4x1x2
= (2m)^2 -4(2m-1)
= (2m-2)^2

Ta thấy A nhỏ nhất khi 2m-2 =0 => m= 1

a) \(A=\dfrac{144-\sqrt{144}}{2-\sqrt{144}}=\dfrac{144-12}{2-12}=-13,2\)

b) \(B=\dfrac{x+3}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{x+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=AB=\dfrac{x-\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}.\dfrac{2-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

c) \(P< \dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{3}\) (\(x\ge0,x\ne1,x\ne4\)) 

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}+1>3\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2>0\)

(đúng do \(x\ne1\)) 

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, mà ta biến đổi tương đương nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng.